Какое наибольшее значение n можно выбрать, чтобы выражение √[n]{81² + 9⁴ + 3⁸} давало натуральное число?

Алгебра 11 класс Корни и степени алгебра 11 класс наибольшее значение n выражение √[n]{81² + 9⁴ + 3⁸} натуральное число решение задачи по алгебре Новый

Чтобы найти наибольшее значение n, при котором выражение √[n]{81² + 9⁴ + 3⁸} является натуральным числом, начнем с упрощения выражения внутри корня.

Первым шагом мы представим все числа в виде степеней числа 3:

• 81 = 3^4, поэтому 81² = (3^4)² = 3^8.
• 9 = 3², поэтому 9⁴ = (3²)⁴ = 3^8.
• 3⁸ уже записано как 3^8.

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

81² + 9⁴ + 3⁸ = 3^8 + 3^8 + 3^8 = 3 * 3^8 = 3^9.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

√[n]{81² + 9⁴ + 3⁸} = √[n]{3^9}.

Согласно свойствам корней, мы можем записать это как:

√[n]{3^9} = 3^(9/n).

Чтобы 3^(9/n) было натуральным числом, 9/n должно быть целым числом. Это означает, что n должно быть делителем числа 9.

Делители числа 9: 1, 3, 9.

Наибольший делитель числа 9 – это 9. Таким образом, наибольшее значение n, при котором √[n]{81² + 9⁴ + 3⁸} будет натуральным числом, равно:

n = 9.