Похожие вопросы
2025-10-25 10:05:30
Какое произведение корней уравнения, заданного в виде $\frac{x^2-4}{x^2-9} = \frac{x^2}{7}$?
- -28
- 14
Алгебра 11 класс Уравнения и системы уравнений уравнение произведение корней алгебра 11 класс дробно-рациональное уравнение решение уравнений
2025-10-25 10:05:57
Чтобы найти произведение корней уравнения, сначала нужно решить данное уравнение. Начнем с уравнения:
(1) (x^2 - 4) / (x^2 - 9) = x^2 / 7
Для удобства, умножим обе стороны уравнения на 7(x^2 - 9), чтобы избавиться от дробей. Это даст нам:
(2) 7(x^2 - 4) = x^2 * (x^2 - 9)
Теперь раскроем скобки:
(3) 7x^2 - 28 = x^4 - 9x^2
Переносим все члены в одну сторону уравнения:
(4) x^4 - 9x^2 - 7x^2 + 28 = 0
Упрощаем:
(5) x^4 - 16x^2 + 28 = 0
Теперь сделаем замену переменной: пусть y = x^2. Тогда уравнение примет вид:
(6) y^2 - 16y + 28 = 0
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
(7) D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 1 * 28 = 256 - 112 = 144
Теперь найдем корни уравнения:
(8) y1,2 = (16 ± √144) / 2
Корень из 144 равен 12, поэтому:
(9) y1 = (16 + 12) / 2 = 28 / 2 = 14
(10) y2 = (16 - 12) / 2 = 4 / 2 = 2
Теперь, помня, что y = x^2, мы можем найти корни x:
(11) x^2 = 14 => x = ±√14
(12) x^2 = 2 => x = ±√2
Таким образом, у нас есть 4 корня: ±√14 и ±√2.
Теперь найдем произведение корней. Произведение корней квадратного уравнения можно найти по формуле:
Произведение корней = (x1 * x2 * x3 * x4) = (√14) * (-√14) * (√2) * (-√2)
Произведение будет равно:
(-√14 * √14) * (-√2 * √2) = (-14) * (-2) = 28
Таким образом, произведение корней уравнения равно 28.
Ответ: 28