Для нахождения произведения корней уравнения lg(x + 3) = 1 - lg(x - 3) начнем с преобразования уравнения.

Шаг 1: Перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

• Сначала мы можем выразить 1 как логарифм: 1 = lg(10).
• Таким образом, уравнение можно записать как: lg(x + 3) = lg(10) - lg(x - 3).

Шаг 2: Применим свойство логарифмов, которое гласит, что lg(a) - lg(b) = lg(a/b).

• Тогда уравнение станет: lg(x + 3) = lg(10/(x - 3)).

Шаг 3: Так как логарифмы равны, мы можем приравнять их аргументы:

• x + 3 = 10/(x - 3).

Шаг 4: Умножим обе стороны на (x - 3), чтобы избавиться от дроби:

• (x + 3)(x - 3) = 10.

Шаг 5: Раскроем скобки:

• x^2 - 9 = 10.

Шаг 6: Переносим 10 на левую сторону:

• x^2 - 19 = 0.

Шаг 7: Теперь решим квадратное уравнение:

• x^2 = 19.
• x = ±√19.

Шаг 8: Теперь находим произведение корней. Если корни уравнения имеют вид x1 и x2, то их произведение можно найти по формуле:

• Произведение корней = x1 * x2 = (√19) * (-√19) = -19.

Но у нас есть одно замечание: корни должны удовлетворять исходным условиям логарифмов. Проверим:

• Для x = √19: x + 3 > 0 и x - 3 > 0. √19 + 3 > 0 и √19 - 3 > 0 (√19 ≈ 4.36, значит √19 - 3 > 0).
• Для x = -√19: x + 3 > 0 и x - 3 > 0. -√19 + 3 < 0, значит этот корень не подходит.

Следовательно, единственный корень, который удовлетворяет условиям, это √19.

Итак, произведение корней уравнения: