Какое значение имеет производная функции f в точке х0, если f(x) = x^4 * √x и x0 = 256?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции значение производной алгебра 11 класс f(x) = x^4 точка х0 x0 = 256 Новый

Чтобы найти значение производной функции f в точке x0 = 256, сначала нам нужно определить саму функцию f и затем вычислить её производную.

Функция задана как:

f(x) = x^4 * √x

Мы можем упростить эту функцию. Напомним, что √x можно записать как x^(1/2). Таким образом, функция f может быть переписана следующим образом:

f(x) = x^4 * x^(1/2) = x^(4 + 1/2) = x^(8/2 + 1/2) = x^(9/2)

Теперь, когда мы упростили функцию, можем найти её производную. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции:

f'(x) = (n * x^(n-1)),

где n - степень переменной x.

В нашем случае n = 9/2, поэтому:

f'(x) = (9/2) * x^(9/2 - 1) = (9/2) * x^(7/2)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x0 = 256, подставим это значение в найденную производную:

f'(256) = (9/2) * (256)^(7/2)

Теперь вычислим (256)^(7/2). Сначала найдем √256:

√256 = 16

Теперь возведем 16 в 7-ю степень:

16^7 = 16 * 16 * 16 * 16 * 16 * 16 * 16

Это довольно большое число, но мы можем заметить, что 16 = 2^4. Таким образом:

16^7 = (2^4)^7 = 2^(4*7) = 2^28

Теперь подставим это значение обратно в производную:

f'(256) = (9/2) * (2^28)

Теперь мы можем выразить окончательный ответ:

f'(256) = (9 * 2^28) / 2 = 9 * 2^27

Таким образом, значение производной функции f в точке x0 = 256 равно:

9 * 2^27