Чтобы найти значение выражения √[4]{11 - √40}× √[4]{√40 + 11}, начнем с упрощения каждого из корней.

1. Рассмотрим первый корень: √[4]{11 - √40}.

• Сначала найдем значение √40. Это равно √(4 * 10) = √4 * √10 = 2√10.
• Теперь подставим это значение в выражение: 11 - √40 = 11 - 2√10.

2. Теперь второй корень: √[4]{√40 + 11}.

• Подставим значение √40: √40 + 11 = 2√10 + 11.

Теперь у нас есть два выражения:

• √[4]{11 - 2√10}
• √[4]{2√10 + 11}

3. Теперь можно заметить, что 11 - 2√10 и 2√10 + 11 являются сопряженными выражениями. Мы можем использовать свойство произведения корней:

√[4]{a}× √[4]{b}= √[4]{a * b}.

4. Теперь найдем произведение: (11 - 2√10)(2√10 + 11).

• Раскроем скобки: 11 * 11 + 11 * 2√10 - 2√10 * 11 - 2√10 * 2√10.
• Это будет: 121 + 22√10 - 22√10 - 4 * 10.
• Сократим: 121 - 40 = 81.

5. Теперь у нас есть: √[4]{81}.

Так как 81 = 3^4, то √[4]{81}= 3.

Ответ: Значение выражения √[4]{11 - √40}× √[4]{√40 + 11}равно 3.