Каково значение выражения √(37-20√3) + 2√3?

Алгебра 11 класс Рациональные выражения и корни значение выражения алгебра 11 класс решение выражения квадратный корень математические выражения алгебраические операции вычисление корней примеры алгебры Новый

Для нахождения значения выражения √(37-20√3) + 2√3, начнем с упрощения первого слагаемого, то есть √(37-20√3).

Шаг 1: Упрощение подкоренного выражения.

Мы можем попытаться представить 37 - 20√3 в виде (a - b)², где a и b - некоторые числа. Раскроем скобки:

(a - b)² = a² - 2ab + b².

Сравнивая с 37 - 20√3, мы видим, что:

• a² + b² = 37,
• -2ab = -20√3.

Из второго уравнения получаем:

2ab = 20√3, следовательно, ab = 10√3.

Шаг 2: Подбор значений a и b.

Теперь у нас есть система уравнений:

• a² + b² = 37,
• ab = 10√3.

Предположим, что a = k√3 и b = m√3, тогда:

• (k√3)(m√3) = 10√3, что дает km = 10,
• k²*3 + m²*3 = 37, что можно упростить до k² + m² = 37/3.

Теперь выразим m через k из первого уравнения:

m = 10/k.

Подставим это значение во второе уравнение:

k² + (10/k)² = 37/3.

Умножим все на k², чтобы избавиться от дроби:

k^4 - (37/3)k² + 100 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение, заменив k² на x:

x² - (37/3)x + 100 = 0.

Для решения используем дискриминант:

D = (37/3)² - 4*100.

Посчитаем D:

D = 1369/9 - 400 = 1369/9 - 3600/9 = -2231/9 (это отрицательное значение).

Это означает, что мы не можем представить 37 - 20√3 в виде (a - b)², и нам нужно использовать другой подход.

Шаг 3: Прямое вычисление.

Теперь вернемся к исходному выражению и попробуем вычислить его напрямую:

Рассмотрим √(37 - 20√3) + 2√3.

Поскольку 37 - 20√3 является довольно сложным числом, мы можем воспользоваться числовым методом или просто оценить значение:

√(37 - 20√3) ≈ √(37 - 34.64) ≈ √(2.36) ≈ 1.54.

Теперь добавим 2√3, где √3 ≈ 1.732:

2√3 ≈ 2 * 1.732 ≈ 3.464.

Таким образом, окончательное значение будет:

√(37 - 20√3) + 2√3 ≈ 1.54 + 3.464 ≈ 5.004.

Ответ: Значение выражения √(37-20√3) + 2√3 приблизительно равно 5.