Чтобы найти значение выражения sqrt(6 + 2sqrt(5)) + sqrt(6 - 2sqrt(5)), мы начнем с упрощения каждого из корней по отдельности.

1. Рассмотрим первый корень: sqrt(6 + 2sqrt(5)). Мы можем попытаться представить это выражение в виде sqrt(a) + sqrt(b), где a и b - некоторые числа. Для этого возведем в квадрат предполагаемое выражение:

• sqrt(a) + sqrt(b) = sqrt(6 + 2sqrt(5))
• При возведении в квадрат получаем: a + b + 2sqrt(ab) = 6 + 2sqrt(5).

Теперь сравним части:

• a + b = 6
• 2sqrt(ab) = 2sqrt(5) => sqrt(ab) = sqrt(5) => ab = 5.

Теперь мы имеем систему уравнений:

• a + b = 6
• ab = 5

Решим эту систему. Подставим b = 6 - a в уравнение ab = 5:

a(6 - a) = 5

6a - a^2 = 5

a^2 - 6a + 5 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*1*5 = 36 - 20 = 16.
• a = (6 ± sqrt(16)) / 2 = (6 ± 4) / 2.

Таким образом, мы получаем два значения:

• a1 = (6 + 4) / 2 = 5, b1 = 6 - 5 = 1
• a2 = (6 - 4) / 2 = 1, b2 = 6 - 1 = 5

Это означает, что sqrt(6 + 2sqrt(5)) = sqrt(5) + sqrt(1) = sqrt(5) + 1.

2. Теперь рассмотрим второй корень: sqrt(6 - 2sqrt(5)). Аналогично, мы можем записать его в виде sqrt(a) - sqrt(b). Возведем в квадрат:

• sqrt(a) - sqrt(b) = sqrt(6 - 2sqrt(5))
• При возведении в квадрат получаем: a + b - 2sqrt(ab) = 6 - 2sqrt(5).

Сравниваем части:

• a + b = 6
• -2sqrt(ab) = -2sqrt(5) => sqrt(ab) = sqrt(5) => ab = 5.

Мы видим, что система уравнений такая же, как и раньше:

• a + b = 6
• ab = 5

Следовательно, sqrt(6 - 2sqrt(5)) = sqrt(5) - 1.

3. Теперь подставим оба корня в исходное выражение:

sqrt(6 + 2sqrt(5)) + sqrt(6 - 2sqrt(5)) = (sqrt(5) + 1) + (sqrt(5) - 1).

Сложим:

• sqrt(5) + 1 + sqrt(5) - 1 = 2sqrt(5).

Таким образом, окончательное значение выражения sqrt(6 + 2sqrt(5)) + sqrt(6 - 2sqrt(5)) равно 2sqrt(5).