Какова вероятность того, что среди пятерых выбранных игроков окажутся и вратарь, и капитан, если известно, что хотя бы 4 пенальти будут реализованы, при условии, что футбольная команда состоит из 8 человек, капитан пробивает пенальти с вероятностью 0,9, вратарь - с вероятностью 0,3, а остальные игроки - с вероятностью 0,8?

Алгебра 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность вратарь капитан пенальти футбольная команда алгебра 11 комбинаторика случайные события выбор игроков математическая статистика Новый

Для решения данной задачи, давайте разберем ее по шагам.

Шаг 1: Определение условий задачи

• У нас есть 8 игроков в команде.
• Из них один капитан, один вратарь и 6 остальных игроков.
• Капитан пробивает пенальти с вероятностью 0,9.
• Вратарь пробивает пенальти с вероятностью 0,3.
• Остальные игроки пробивают пенальти с вероятностью 0,8.
• Нам нужно найти вероятность того, что среди 5 выбранных игроков окажутся и вратарь, и капитан, при условии, что хотя бы 4 пенальти будут реализованы.

Шаг 2: Определение количества способов выбрать игроков

Сначала найдем общее количество способов выбрать 5 игроков из 8. Это можно сделать с помощью комбинаторики:

• Общее количество способов выбрать 5 из 8 равно C(8,5) = 56.

Шаг 3: Определение успешных исходов

Теперь определим количество способов выбрать 5 игроков так, чтобы среди них были и капитан, и вратарь. Если мы уже выбрали капитана и вратаря, нам нужно выбрать еще 3 игрока из оставшихся 6 (6 остальных игроков).

• Количество способов выбрать 3 из 6 равно C(6,3) = 20.

Шаг 4: Определение вероятности реализации пенальти

Теперь нам необходимо рассмотреть вероятность того, что хотя бы 4 пенальти будут реализованы. Мы можем рассмотреть все возможные комбинации реализации пенальти для выбранных игроков.

• Сначала найдем вероятность, что капитан и вратарь реализуют свои пенальти:
• Вероятность того, что капитан реализует пенальти: 0,9.
• Вероятность того, что вратарь реализует пенальти: 0,3.
• Теперь нам нужно учесть остальных 3 игроков, которые могут реализовать свои пенальти с вероятностью 0,8.

Шаг 5: Подсчет вероятностей

Мы можем использовать биномиальное распределение для подсчета вероятностей реализации 4 и 5 пенальти. Однако, чтобы упростить задачу, мы можем рассмотреть различные случаи, когда 4 или 5 пенальти реализованы:

• Случай 1: 4 пенальти реализованы (из 5). Это может произойти, если один из игроков не реализует пенальти.
• Случай 2: 5 пенальти реализованы. Это происходит, когда все реализуют свои пенальти.

Шаг 6: Итоговая вероятность

Теперь, чтобы найти итоговую вероятность, мы должны рассмотреть все успешные исходы и разделить их на общее количество способов выбора игроков:

• Вероятность того, что среди выбранных игроков будут и капитан, и вратарь, и что хотя бы 4 пенальти будут реализованы, можно выразить как:
• P(успех) = (число успешных исходов) / (общее число исходов) = (C(6,3) * P(реализация)) / C(8,5).

Таким образом, для окончательного ответа нам нужно будет подставить значения и рассчитать итоговую вероятность. Это достаточно сложная задача, и для точного вычисления рекомендуется использовать программные средства или калькуляторы для биномиального распределения.