Каковы корни уравнения 2*16^(cosx) -9*4^(cosx) +4=0 в промежутке [-3П;-3П/2]?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией корни уравнения алгебра 2*16^(cosx) 9*4^(cosx) промежуток [-3П;-3П/2] Новый

Для решения уравнения 2*16^(cos(x)) - 9*4^(cos(x)) + 4 = 0 сначала упростим его. Заметим, что 16 = 4^2, следовательно, 16^(cos(x)) = (4^2)^(cos(x)) = 4^(2*cos(x)). Таким образом, уравнение можно переписать в следующем виде:

2*(4^(2*cos(x))) - 9*4^(cos(x)) + 4 = 0

Теперь введем замену y = 4^(cos(x)). Тогда 4^(2*cos(x)) = (4^(cos(x)))^2 = y^2. Подставляем это в уравнение:

2y^2 - 9y + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 2, b = -9, c = 4. Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4*2*4 = 81 - 32 = 49

Теперь подставим дискриминант в формулу для нахождения корней:

y1 = (9 + √49) / (2*2) = (9 + 7) / 4 = 16 / 4 = 4

y2 = (9 - √49) / (2*2) = (9 - 7) / 4 = 2 / 4 = 0.5

Таким образом, у нас есть два корня: y1 = 4 и y2 = 0.5.

Теперь вернемся к переменной cos(x):

1. Для y1 = 4:

• 4^(cos(x)) = 4
• cos(x) = 1

2. Для y2 = 0.5:

• 4^(cos(x)) = 0.5
• cos(x) = -0.5

Теперь найдем значения x для cos(x) = 1 и cos(x) = -0.5 в промежутке [-3π; -3π/2].

1. cos(x) = 1:

• Решение: x = 2kπ, где k - целое число. В данном промежутке это значение не входит.

2. cos(x) = -0.5:

• Решение: x = 2π/3 + 2kπ или x = 4π/3 + 2kπ.
• Подставляем k = -2:
• x = 2π/3 - 4π = -10π/3 (не входит в промежуток)
• x = 4π/3 - 4π = -8π/3 (входит в промежуток)
• Подставляем k = -1:
• x = 2π/3 - 2π = -4π/3 (входит в промежуток)
• x = 4π/3 - 2π = -2π/3 (не входит в промежуток)

Таким образом, корни уравнения в промежутке [-3π; -3π/2]:

• x = -8π/3
• x = -4π/3