Для решения задачи о движении тела с неравномерной скоростью V = -t^2 + 48t + 208, сначала найдем максимальную скорость, среднюю скорость, время до полной остановки и путь, пройденный телом.

Максимальная скорость достигается, когда производная скорости по времени равна нулю. Для этого найдем производную функции V:

V(t) = -t^2 + 48t + 208

V'(t) = -2t + 48

Приравняем производную к нулю:

-2t + 48 = 0

2t = 48

t = 24 секунд

Теперь подставим это значение времени обратно в функцию скорости, чтобы найти максимальную скорость:

V(24) = -24^2 + 48*24 + 208

V(24) = -576 + 1152 + 208 = 784 м/сек

Средняя скорость (Vср) за промежуток времени от 0 до t будет равна:

Vср = (S / t), где S - пройденный путь.

Чтобы найти путь S, нужно вычислить интеграл от функции скорости:

S = ∫ V(t) dt от 0 до t.

Вычислим интеграл:

S = ∫ (-t^2 + 48t + 208) dt = (-t^3 / 3 + 24t^2 + 208t) + C.

Подставляя границы интегрирования, получаем:

S(0) = 0, S(t) = (-t^3 / 3 + 24t^2 + 208t).

Теперь, чтобы найти среднюю скорость за интервал от 0 до 24 секунд:

S(24) = (-24^3 / 3 + 24*24^2 + 208*24).

Вычислим S(24):

S(24) = (-9216 / 3 + 1152 + 4992) = -3072 + 1152 + 4992 = 3072 м.

Теперь найдем среднюю скорость:

Vср = S(24) / 24 = 3072 / 24 = 128 м/сек.

Полная остановка наступает, когда скорость V = 0:

-t^2 + 48t + 208 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 48^2 - 4*(-1)*208 = 2304 + 832 = 3136.

Корни уравнения:

t = (-b ± √D) / 2a = (48 ± √3136) / -2.

√3136 = 56.

t1 = (48 + 56) / 2 = 52 / 2 = 26 секунд.

t2 = (48 - 56) / 2 = -8 / 2 = -4 секунд (отрицательное время не рассматриваем).

Теперь подставим t = 26 в S(t):

S(26) = (-26^3 / 3 + 24*26^2 + 208*26).

Вычислим S(26):

S(26) = (-17576 / 3 + 16224 + 5408) = -5858.67 + 16224 + 5408 = 10773.33 м.

• Максимальная скорость: 784 м/сек
• Средняя скорость: 128 м/сек
• Время до полной остановки: 26 секунд
• Путь до полной остановки: 10773.33 м