Давайте найдем производные указанных функций одну за другой. Напоминаю, что для нахождения производной мы будем использовать основные правила дифференцирования, включая правило степени, правило произведения и правило цепи.

1. Функция: y = x^2/2 + 3/x^3 + 1
   • Первая часть: x^2/2. Производная будет (2*x)/2 = x.
   • Вторая часть: 3/x^3 можно переписать как 3*x^(-3). Производная будет -9*x^(-4) = -9/x^4.
   • Третья часть: константа 1 имеет производную 0.
   • Таким образом, производная функции: y' = x - 9/x^4.
2. Функция: y = 4x^2 + 1/x
   • Первая часть: 4x^2. Производная будет 8x.
   • Вторая часть: 1/x можно переписать как x^(-1). Производная будет -1*x^(-2) = -1/x^2.
   • Таким образом, производная функции: y' = 8x - 1/x^2.
3. Функция: y = 1/x^8 + 3
   • Первая часть: 1/x^8 можно переписать как x^(-8). Производная будет -8*x^(-9) = -8/x^9.
   • Вторая часть: константа 3 имеет производную 0.
   • Таким образом, производная функции: y' = -8/x^9.
4. Функция: y = cos(2x)
   • Здесь мы применяем правило цепи. Производная косинуса: -sin(2x),и затем умножаем на производную внутренней функции 2x, которая равна 2.
   • Таким образом, производная функции: y' = -2*sin(2x).

Итак, мы нашли производные всех четырех функций:

• y' = x - 9/x^4
• y' = 8x - 1/x^2
• y' = -8/x^9
• y' = -2*sin(2x)