Чтобы понять соответствия между уравнениями функций и их свойствами, давайте рассмотрим каждую из представленных форм и выявим их ключевые характеристики.

• y = a(x - m)² - это каноническая форма параболы, где (m, 0) - вершина параболы.
• y = ax² + n - это стандартная форма, где вершина находится в точке (0, n) при a > 0 или (0, n) при a < 0.
• y = a(x - m)² + p - это также каноническая форма, где (m, p) - вершина параболы.

• В уравнении y = a(x - m)² вершина находится в точке (m, 0).
• В уравнении y = ax² + n вершина находится в точке (0, n), но ее координаты зависят от значения a.
• В уравнении y = a(x - m)² + p вершина находится в точке (m, p).

• Во всех трех уравнениях направление ветвей зависит от знака a: если a > 0, ветви направлены вверх; если a < 0, ветви направлены вниз.

• В уравнении y = ax² + n значение n определяет смещение параболы по оси Y: при увеличении n парабола поднимается вверх.
• В уравнении y = a(x - m)² + p значение p также определяет смещение по оси Y, аналогично n.
• В уравнении y = a(x - m)² смещение отсутствует, так как p = 0.

• В уравнении y = a(x - m)² параметр m сдвигает параболу по оси X: при увеличении m парабола смещается вправо.
• В уравнении y = ax² + n параметр m отсутствует, поэтому парабола не смещается по оси X.
• В уравнении y = a(x - m)² + p параметр m также смещает параболу по оси X, аналогично первому уравнению.

Таким образом, мы видим, что между этими уравнениями существуют четкие соответствия, которые помогают понять их графическое представление и свойства. Это важно для решения задач и анализа функций в алгебре.