Чтобы определить, при каких значениях m график квадратной функции y = (m + 4)x² - 2(m + 2)x + 1 расположен ниже оси абсцисс, нужно выяснить, когда уравнение имеет два различных вещественных корня. Это означает, что дискриминант уравнения должен быть больше нуля.

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:

y = ax² + bx + c, где:

• a = m + 4
• b = -2(m + 2)
• c = 1

Дискриминант D квадратного уравнения определяется по формуле:

D = b² - 4ac

Подставим значения a, b и c:

D = [-2(m + 2)]² - 4(m + 4) * 1

Теперь упростим это выражение:

1. Вычислим b²:
   • [-2(m + 2)]² = 4(m + 2)² = 4(m² + 4m + 4)
2. Вычислим 4ac:
   • 4(m + 4) * 1 = 4(m + 4) = 4m + 16
3. Теперь подставим в формулу для D:
   • D = 4(m² + 4m + 4) - (4m + 16)

Упрощаем D:

1. D = 4m² + 16m + 16 - 4m - 16
2. D = 4m² + 12m

Теперь мы хотим, чтобы D > 0:

4m² + 12m > 0

Можно вынести общий множитель:

4m(m + 3) > 0

Теперь определим, при каких значениях m это неравенство выполняется. Для этого найдем корни уравнения:

• 4m = 0 → m = 0
• m + 3 = 0 → m = -3

Теперь у нас есть два корня: m = 0 и m = -3. Для анализа знаков выражения 4m(m + 3) рассмотрим интервалы:

• (-∞, -3)
• (-3, 0)
• (0, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:

1. Для m < -3 (например, m = -4):
   • 4(-4)(-4 + 3) = 4(-4)(-1) = 16 > 0
2. Для -3 < m < 0 (например, m = -1):
   • 4(-1)(-1 + 3) = 4(-1)(2) = -8 < 0
3. Для m > 0 (например, m = 1):
   • 4(1)(1 + 3) = 4(1)(4) = 16 > 0

Таким образом, неравенство 4m(m + 3) > 0 выполняется на интервалах:

• m < -3
• m > 0

Итак, график функции y = (m + 4)x² - 2(m + 2)x + 1 расположен ниже оси абсцисс при значениях:

m < -3 или m > 0.