Каковы все корни уравнения lgx + lg(x - 4) = 1?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения корни уравнения решение уравнения алгебра 11 класс Логарифмическое уравнение lgx lg(x - 4) математические задачи Новый

Для решения уравнения lgx + lg(x - 4) = 1 начнем с применения свойств логарифмов.

Мы знаем, что lg(a) + lg(b) = lg(ab). Поэтому мы можем переписать наше уравнение следующим образом:

lg(x(x - 4)) = 1

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, применим определение логарифма. Если lg(a) = b, то a = 10^b. В нашем случае это будет:

x(x - 4) = 10^1

Это упрощается до:

x(x - 4) = 10

Теперь раскроем скобки:

x^2 - 4x - 10 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

В нашем уравнении:

• a = 1
• b = -4
• c = -10

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = (-4)^2 - 4 * 1 * (-10) = 16 + 40 = 56

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим наши значения:

x = (4 ± √56) / 2

Упростим корень:

√56 = √(4 * 14) = 2√14

Теперь подставим обратно:

x = (4 ± 2√14) / 2

Упростим:

x = 2 ± √14

Таким образом, у нас есть два корня:

• x1 = 2 + √14
• x2 = 2 - √14

Теперь нам нужно проверить, являются ли эти корни допустимыми. Поскольку у нас есть логарифмы, выражения x и (x - 4) должны быть положительными:

• Для x1 = 2 + √14:
  • √14 примерно равно 3.74, значит x1 ≈ 5.74, и (x1 - 4) ≈ 1.74, оба выражения положительные.
• Для x2 = 2 - √14:
  • √14 примерно равно 3.74, значит x2 ≈ -1.74, что не подходит, так как x должно быть положительным.

Таким образом, единственный допустимый корень уравнения:

x = 2 + √14