Для того чтобы уравнение x^2 - 2ax + a^2 + 2a - 6 = 0 имело два различных корня, необходимо выполнить два условия:

1. Дискриминант уравнения должен быть положительным.
2. Корни уравнения должны принадлежать отрезку [-3; 3].

Начнем с нахождения дискриминанта. Дискриминант D для квадратного уравнения Ax^2 + Bx + C = 0 вычисляется по формуле:

В нашем случае:

• A = 1
• B = -2a
• C = a^2 + 2a - 6

Теперь подставим значения A, B и C в формулу для дискриминанта:

Упрощаем:

Раскроем скобки:

Таким образом, получаем:

Для того чтобы дискриминант был положительным, требуется:

Решим это неравенство:

Теперь перейдем ко второму условию: корни уравнения должны принадлежать отрезку [-3; 3]. Найдем корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:

Подставим значение D:

Упрощаем:

Теперь найдем условия для того, чтобы оба корня находились в интервале [-3; 3].

Корни будут в пределах отрезка, если:

Рассмотрим первое неравенство:

1. -3 ≤ a - √(-2a + 6)
2. √(-2a + 6) ≤ a + 3

Решим первое неравенство:

Квадратируем обе части (заметим, что -2a + 6 ≥ 0, чтобы корень был определен):

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения a² + 8a + 3 = 0 с помощью дискриминанта:

Корни:

Теперь подставим значение корней:

Найдем интервал, в котором выполняется неравенство 0 ≥ a² + 8a + 3. Это будет между корнями:

Теперь решим второе неравенство:

Решим его:

Квадратируем обе стороны:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Как мы уже нашли, это неравенство выполняется в интервале:

Теперь нам нужно учесть, что a < 3. Однако, поскольку -4 - √13 и -4 + √13 уже меньше 3, это условие не накладывает дополнительных ограничений.

Таким образом, все значения параметра a, при которых уравнение x^2 - 2ax + a^2 + 2a - 6 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих отрезку [-3; 3], находятся в интервале: