Чтобы найти интервал, в котором находится корень уравнения 2^(2x) + 1 + 7*2^x = 4, начнем с упрощения уравнения.

Во-первых, заметим, что 2^(2x) можно записать как (2^x)^2. Обозначим 2^x как y. Тогда уравнение примет следующий вид:

y^2 + 7y + 1 - 4 = 0

Упрощая, получаем:

y^2 + 7y - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = 7, c = -3. Подставим значения:

y = (-7 ± √(7² - 4*1*(-3))) / (2*1)

Вычислим дискриминант:

7² - 4*1*(-3) = 49 + 12 = 61

Теперь подставим дискриминант в формулу:

y = (-7 ± √61) / 2

Это дает два значения для y:

• y1 = (-7 + √61) / 2
• y2 = (-7 - √61) / 2

Поскольку 2^x = y, y должно быть положительным. Из двух корней только y1 будет положительным, так как y2 будет отрицательным.

Теперь найдем значение y1:

y1 = (-7 + √61) / 2

Чтобы найти x, вернемся к выражению 2^x = y1. Применим логарифм:

x = log2(y1)

Теперь нам нужно оценить, в каком интервале находится это значение. Для этого вычислим y1 численно:

Приблизительно √61 ≈ 7.81, тогда:

y1 ≈ (-7 + 7.81) / 2 ≈ 0.405

Теперь найдем x:

x = log2(0.405)

Теперь найдем, в каком интервале находится log2(0.405). Поскольку 2^(-1) = 0.5 и 2^(-2) = 0.25, то 0.405 находится между 0.25 и 0.5, значит:

-2 < log2(0.405) < -1

Таким образом, x находится в интервале (-2; -1). Теперь проверим, какие из предложенных вариантов включает этот интервал:

• 1) (-6; -4) - не подходит
• 2) [-4; -2] - подходит
• 3) (-2; 0) - не подходит
• 4) [0; 1] - не подходит

Таким образом, правильный ответ - вариант 2) [-4; -2].