Можете, пожалуйста, решить уравнение: lg(x-3) + lg(x+6) = lg 2 + lg 5?

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения уравнение алгебра логарифмы решение lg x математические задачи 11 класс учебник примеры решений Новый

Конечно! Давайте решим уравнение lg(x-3) + lg(x+6) = lg 2 + lg 5 шаг за шагом.

Первым делом, воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что lg a + lg b = lg(ab). Применим это свойство к левой части уравнения:

• lg(x-3) + lg(x+6) = lg((x-3)(x+6))

Таким образом, наше уравнение преобразуется в:

lg((x-3)(x+6)) = lg(2 * 5)

Теперь упростим правую часть:

• lg(2 * 5) = lg(10)

Теперь у нас есть:

lg((x-3)(x+6)) = lg(10)

Поскольку логарифмы равны, то их аргументы также равны. То есть:

(x-3)(x+6) = 10

Теперь раскроем скобки:

• (x-3)(x+6) = x^2 + 6x - 3x - 18 = x^2 + 3x - 18

Теперь у нас есть следующее уравнение:

x^2 + 3x - 18 = 10

Переносим 10 в левую часть уравнения:

x^2 + 3x - 28 = 0

Теперь у нас квадратное уравнение. Используем дискриминант для решения:

• D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 1 * (-28) = 9 + 112 = 121

Так как D > 0, у уравнения два различных корня. Находим корни по формуле:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 11) / 2 = 8 / 2 = 4
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 11) / 2 = -14 / 2 = -7

Таким образом, мы получили два корня: x1 = 4 и x2 = -7.

Теперь нужно проверить, подходят ли эти корни под условия логарифмов. Логарифм определен только для положительных аргументов:

• Для x1 = 4: lg(4 - 3) = lg(1) и lg(4 + 6) = lg(10) - оба аргумента положительные.
• Для x2 = -7: lg(-7 - 3) = lg(-10) и lg(-7 + 6) = lg(-1) - оба аргумента отрицательные.

Таким образом, корень x2 = -7 не подходит, а корень x1 = 4 является единственным решением уравнения.

Ответ: x = 4.