Найдите все корни уравнения sin(2x) + √2sin(x) = 0, которые находятся в интервале [-3π/2; 3π/2].

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрических функций корни уравнения sin(2x) √2sin(x) интервал [-3π/2; 3π/2] алгебра 11 класс решение уравнения тригонометрические функции Новый

Для решения уравнения sin(2x) + √2sin(x) = 0 начнем с использования тригонометрической идентичности для синуса двойного угла. Мы знаем, что:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) + √2sin(x) = 0

Теперь можно вынести sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos(x) + √2) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый из случаев:

1. sin(x) = 0
2. 2cos(x) + √2 = 0

Решим первый случай:

Уравнение sin(x) = 0 имеет решение в виде:

x = nπ, где n — целое число.

Теперь найдем такие n, чтобы x находилось в интервале [-3π/2; 3π/2].

• Для n = -2: x = -2π (не подходит, так как -2π < -3π/2)
• Для n = -1: x = -π (подходит)
• Для n = 0: x = 0 (подходит)
• Для n = 1: x = π (подходит)
• Для n = 2: x = 2π (не подходит, так как 2π > 3π/2)

Таким образом, из первого случая мы получили корни:

x = -π, 0, π

Теперь решим второй случай:

Уравнение 2cos(x) + √2 = 0 можно переписать как:

2cos(x) = -√2

cos(x) = -√2/2

Значение cos(x) = -√2/2 достигается в следующих точках:

x = 3π/4 + 2kπ и x = 5π/4 + 2kπ, где k — целое число.

Теперь найдем такие k, чтобы x находилось в интервале [-3π/2; 3π/2]:

• Для k = -1: x = 3π/4 - 2π = 3π/4 - 8π/4 = -5π/4 (не подходит)
• Для k = -1: x = 5π/4 - 2π = 5π/4 - 8π/4 = -3π/4 (подходит)
• Для k = 0: x = 3π/4 (подходит)
• Для k = 0: x = 5π/4 (не подходит, так как 5π/4 > 3π/2)

Таким образом, из второго случая мы получили корни:

x = -3π/4, 3π/4

Теперь соберем все корни вместе:

Корни уравнения sin(2x) + √2sin(x) = 0 в интервале [-3π/2; 3π/2]:

x = -π, 0, π, -3π/4, 3π/4