Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, мы используем умножение на сопряженное выражение. Сопряженное выражение для суммы или разности корней имеет вид, где мы меняем знак между корнями. Давайте рассмотрим каждый пример по очереди.

• Сопряженное выражение: (√3 - 1)
• Умножаем числитель и знаменатель на (√3 - 1):
• Получаем: (4 * (√3 - 1)) / ((√3 + 1)(√3 - 1))
• В знаменателе: (√3)^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2
• Итак, итоговая дробь: (4√3 - 4) / 2 = 2√3 - 2

• Сопряженное выражение: (1 + √2)
• Умножаем числитель и знаменатель на (1 + √2):
• Получаем: (1 * (1 + √2)) / ((1 - √2)(1 + √2))
• В знаменателе: (1)^2 - (√2)^2 = 1 - 2 = -1
• Итак, итоговая дробь: (1 + √2) / -1 = -1 - √2

• Сопряженное выражение: (√x + √y)
• Умножаем числитель и знаменатель на (√x + √y):
• Получаем: (1 * (√x + √y)) / ((√x - √y)(√x + √y))
• В знаменателе: (√x)^2 - (√y)^2 = x - y
• Итак, итоговая дробь: (√x + √y) / (x - y)

• Сопряженное выражение: (√a - √b)
• Умножаем числитель и знаменатель на (√a - √b):
• Получаем: (a * (√a - √b)) / ((√a + √b)(√a - √b))
• В знаменателе: (√a)^2 - (√b)^2 = a - b
• Итак, итоговая дробь: (a√a - a√b) / (a - b)

• Сопряженное выражение: (7 + 3√3)
• Умножаем числитель и знаменатель на (7 + 3√3):
• Получаем: (33 * (7 + 3√3)) / ((7 - 3√3)(7 + 3√3))
• В знаменателе: (7)^2 - (3√3)^2 = 49 - 27 = 22
• Итак, итоговая дробь: (231 + 99√3) / 22 = (231/22) + (99√3/22)

• Сопряженное выражение: (2√5 - 5)
• Умножаем числитель и знаменатель на (2√5 - 5):
• Получаем: (15 * (2√5 - 5)) / ((2√5 + 5)(2√5 - 5))
• В знаменателе: (2√5)^2 - (5)^2 = 20 - 25 = -5
• Итак, итоговая дробь: (30√5 - 75) / -5 = -6√5 + 15

Таким образом, мы избавились от иррациональности в знаменателе для всех дробей.