Чтобы вычислить производную функции f(x) = (x + 4)²/2 - x, мы будем использовать правила дифференцирования. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

Функция f(x) может быть записана в более удобной форме:

f(x) = (1/2)(x + 4)² - x.

Мы будем использовать правило производной для суммы и правило производной для произведения.

• Производная константы умноженной на функцию: (k * g(x))' = k * g'(x),где k - константа.
• Производная суммы: (g(x) + h(x))' = g'(x) + h'(x).

Теперь найдем производную от каждой части функции:

1. Для первой части (1/2)(x + 4)²:
   • Сначала найдем производную от (x + 4)². Используем правило производной для степени: (u²)' = 2u * u', где u = x + 4.
   • Производная u = x + 4 равна 1, так как производная x равна 1, а производная константы 4 равна 0.
   • Следовательно, (x + 4)²' = 2(x + 4) * 1 = 2(x + 4).
2. Теперь умножим на 1/2: (1/2)(2(x + 4)) = (x + 4).
3. Для второй части -x:
   • Производная -x равна -1.

Теперь мы можем сложить найденные производные:

f'(x) = (x + 4) - 1.

Упростим выражение:

f'(x) = x + 4 - 1 = x + 3.

Ответ: Производная функции f(x) = (x + 4)²/2 - x равна f'(x) = x + 3.