Помогите, пожалуйста, вычислить производную функции y = ((x^3) + 4) / (2x^2), то есть найти y' и y''.

Алгебра 11 класс Производные функций вычислить производную функция y производная y' производная y'' алгебра 11 класс математика нахождение производной правила дифференцирования Новый

Конечно! Давайте поэтапно найдем первую и вторую производные функции y = (x^3 + 4) / (2x^2).

Шаг 1: Найдем первую производную y'.

Для нахождения производной дробной функции мы будем использовать правило дифференцирования дроби, которое гласит:

(u/v)' = (u'v - uv') / v^2,

где u = x^3 + 4, а v = 2x^2.

• Находим u' (производную числителя):
• u' = (x^3 + 4)' = 3x^2.
• Находим v' (производную знаменателя):
• v' = (2x^2)' = 4x.

Теперь подставим все в формулу:

y' = (u'v - uv') / v^2 = (3x^2 * 2x^2 - (x^3 + 4) * 4x) / (2x^2)^2.

Упростим числитель:

• 3x^2 * 2x^2 = 6x^4.
• (x^3 + 4) * 4x = 4x^4 + 16x.

Теперь подставим это в числитель:

y' = (6x^4 - (4x^4 + 16x)) / (4x^4) = (6x^4 - 4x^4 - 16x) / (4x^4) = (2x^4 - 16x) / (4x^4).

Упростим дробь:

y' = (2x^4 / 4x^4) - (16x / 4x^4) = (1/2) - (4/x^3).

Таким образом, первая производная:

y' = 1/2 - 4/x^3.

Шаг 2: Найдем вторую производную y''.

Теперь нам нужно найти производную от y'. Для этого снова применим правила дифференцирования.

y' = 1/2 - 4/x^3.

Производная от 1/2 равна 0, а для -4/x^3 мы используем правило производной для степени:

(x^n)' = n * x^(n-1).

Таким образом:

• Производная от -4/x^3 = -4 * (-3) * x^(-3-1) = 12/x^4.

Следовательно, вторая производная будет:

y'' = 12/x^4.

Итак, мы нашли первую и вторую производные:

• y' = 1/2 - 4/x^3;
• y'' = 12/x^4.