Для решения уравнения log_3(3/x) + log_3^2(x) = 1 начнем с упрощения первого логарифма.

Мы знаем, что log_3(3/x) можно переписать, используя свойства логарифмов:

• log_3(3/x) = log_3(3) - log_3(x)

Так как log_3(3) = 1, у нас получится:

• log_3(3/x) = 1 - log_3(x)

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

• 1 - log_3(x) + log_3^2(x) = 1

Теперь упростим уравнение, вычтя 1 из обеих сторон:

• - log_3(x) + log_3^2(x) = 0

Теперь можем привести его к стандартному виду:

• log_3^2(x) - log_3(x) = 0

Вынесем общий множитель:

• log_3(x)(log_3(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это значит, что один из множителей равен нулю:

1. log_3(x) = 0
2. log_3(x) - 1 = 0

Решим первое уравнение:

• log_3(x) = 0 означает, что x = 3^0 = 1.

Теперь решим второе уравнение:

• log_3(x) - 1 = 0 означает, что log_3(x) = 1, откуда x = 3^1 = 3.

Таким образом, мы нашли два решения для нашего уравнения:

• x = 1
• x = 3

Теперь проверим, подходят ли эти значения к исходному уравнению:

• Для x = 1: log_3(3/1) + log_3^2(1) = log_3(3) + 0 = 1.
• Для x = 3: log_3(3/3) + log_3^2(3) = log_3(1) + 1^2 = 0 + 1 = 1.

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению. Следовательно, окончательный ответ:

• x = 1
• x = 3