Пожалуйста, найдите производную для следующих функций:

1. y=1/2sin(2x) в точке пи/4
2. y=√x(3x+3)
3. y=x/(x^2-2x)
4. y=√(x^2+4x)

где √ - это корень.

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции алгебра 11 класс вычисление производной функции с корнями тригонометрические функции производная синуса производная дробной функции производная корня производная в точке математический анализ Новый

Давайте найдем производные для каждой из указанных функций, а затем подставим необходимые значения.

1. Функция: y = (1/2)sin(2x)

1. Найдём производную. Используем правило производной для синуса: (d/dx)sin(kx) = k*cos(kx).
2. В нашем случае k = 2, поэтому производная будет: y' = (1/2) * 2 * cos(2x) = cos(2x).
3. Теперь подставим x = π/4: y'(π/4) = cos(2*(π/4)) = cos(π/2) = 0.

Итак, производная в точке π/4 равна 0.

2. Функция: y = √x(3x + 3)

1. Применим правило произведения: (d/dx)(uv) = u'v + uv', где u = √x и v = (3x + 3).
2. Найдём u' и v': u' = (1/2)x^(-1/2) и v' = 3.
3. Теперь подставим: y' = (1/2)x^(-1/2)(3x + 3) + √x * 3.
4. Упростим: y' = (3/2√x)(x + 1) + 3√x = (3/2√x)(x + 1) + (3√x * (√x/√x)) = (3/2√x)(x + 1) + (3x/√x).

Таким образом, производная функции y = √x(3x + 3) равна (3/2√x)(x + 1) + 3√x.

3. Функция: y = x/(x^2 - 2x)

1. Используем правило деления: (d/dx)(u/v) = (u'v - uv')/v^2, где u = x и v = (x^2 - 2x).
2. Найдём u' и v': u' = 1 и v' = 2x - 2.
3. Теперь подставим: y' = (1 * (x^2 - 2x) - x * (2x - 2))/ (x^2 - 2x)^2.
4. Упростим: y' = (x^2 - 2x - (2x^2 - 2x))/ (x^2 - 2x)^2 = (-x^2)/ (x^2 - 2x)^2.

Таким образом, производная функции y = x/(x^2 - 2x) равна -x^2/(x^2 - 2x)^2.

4. Функция: y = √(x^2 + 4x)

1. Используем правило производной корня: (d/dx)√u = (1/(2√u)) * u', где u = x^2 + 4x.
2. Найдём u': u' = 2x + 4.
3. Теперь подставим: y' = (1/(2√(x^2 + 4x))) * (2x + 4) = (2x + 4)/(2√(x^2 + 4x)) = (x + 2)/√(x^2 + 4x).

Таким образом, производная функции y = √(x^2 + 4x) равна (x + 2)/√(x^2 + 4x).

Мы нашли производные для всех указанных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!