Пожалуйста, помогите: "Как вычислить производную функции y = (x^(3) - 4) / (4 + x^(2))?"

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции вычисление производной алгебра 11 класс правила дифференцирования функция y дробная функция Новый

Чтобы вычислить производную функции y = (x^(3) - 4) / (4 + x^(2)), мы воспользуемся правилом дифференцирования дроби, известным как правило частного. Оно гласит, что если у нас есть функция в виде y = u/v, где u и v - это функции от x, то производная этой функции вычисляется по формуле:

y' = (u'v - uv') / v^2

Теперь давайте определим u и v:

• u = x^(3) - 4
• v = 4 + x^(2)

Теперь найдем производные u' и v':

• u' = 3x^(2) (производная от x^(3) равна 3x^(2), а производная от -4 равна 0)
• v' = 2x (производная от x^(2) равна 2x, а производная от 4 равна 0)

Теперь мы можем подставить u, u', v и v' в формулу для производной:

y' = (u'v - uv') / v^2

Подставляем значения:

y' = (3x^(2)(4 + x^(2)) - (x^(3) - 4)(2x)) / (4 + x^(2))^2

Теперь упростим числитель:

1. Раскроем скобки в первом слагаемом: 3x^(2)(4 + x^(2)) = 12x^(2) + 3x^(4)
2. Раскроем скобки во втором слагаемом: (x^(3) - 4)(2x) = 2x^(4) - 8x
3. Теперь подставим это в числитель: y' = (12x^(2) + 3x^(4) - (2x^(4) - 8x)) / (4 + x^(2))^2
4. Упрощаем: y' = (12x^(2) + 3x^(4) - 2x^(4) + 8x) / (4 + x^(2))^2
5. Это можно упростить до: y' = (x^(4) + 12x^(2} + 8x) / (4 + x^(2))^2

Таким образом, производная функции y равна:

y' = (x^(4) + 12x^(2} + 8x) / (4 + x^(2))^2

Это и есть ответ на ваш вопрос. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!