Пожалуйста, помогите разобраться с решением следующих логарифмических уравнений:

1. 3 lg²(x-1) - 10lg(x-1) + 3 = 0
2. 1/(5 - lgx) + 2/(1 + lgx) = 1
3. lg²(100x) + lg(10x) = 14 + lg(1/x)
4. lg²x - 2lgx = lg²100 - 1

Алгебра 11 класс Логарифмические уравнения логарифмические уравнения решение уравнений алгебра 11 класс логарифмы математические задачи Новый

Давайте разберем каждое из логарифмических уравнений по очереди.

1. Уравнение: 3 lg²(x-1) - 10lg(x-1) + 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно lg(x-1). Обозначим lg(x-1) как y. Уравнение примет вид:

• 3y² - 10y + 3 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64

Корни уравнения будут:

• y₁ = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 3
• y₂ = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 1/3

Теперь возвращаемся к переменной x:

• lg(x-1) = 3 ⇒ x - 1 = 10³ ⇒ x = 1001
• lg(x-1) = 1/3 ⇒ x - 1 = 10^(1/3) ⇒ x = 1 + 10^(1/3)

Таким образом, у нас есть два решения: x = 1001 и x = 1 + 10^(1/3).

2. Уравнение: 1/(5 - lgx) + 2/(1 + lgx) = 1

Умножим обе стороны уравнения на (5 - lgx)(1 + lgx) для устранения дробей:

• (1)(1 + lgx) + (2)(5 - lgx) = (5 - lgx)(1 + lgx)

Раскроем скобки:

• 1 + lgx + 10 - 2lgx = 5 + 5lgx - lg²x

Соберем все члены с lgx и перенесем их в одну сторону:

• lg²x - 6lgx + 6 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-6)² - 4 * 1 * 6 = 36 - 24 = 12

Корни уравнения:

• lgx₁ = (6 + √12) / 2 = 3 + √3
• lgx₂ = (6 - √12) / 2 = 3 - √3

Теперь найдем x:

• x₁ = 10^(3 + √3)
• x₂ = 10^(3 - √3)

3. Уравнение: lg²(100x) + lg(10x) = 14 + lg(1/x)

Сначала упростим выражения:

• lg(100x) = lg100 + lgx = 2 + lgx
• lg(10x) = lg10 + lgx = 1 + lgx
• lg(1/x) = -lgx

Теперь подставим в уравнение:

• (2 + lgx)² + (1 + lgx) = 14 - lgx

Раскроем скобки и соберем все члены:

• 4 + 4lgx + lg²x + 1 + lgx = 14 - lgx
• lg²x + 6lgx - 9 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = 6² - 4 * 1 * (-9) = 36 + 36 = 72

Корни:

• lgx₁ = (6 + √72) / 2 = 3 + 3√2
• lgx₂ = (6 - √72) / 2 = 3 - 3√2

Таким образом:

• x₁ = 10^(3 + 3√2)
• x₂ = 10^(3 - 3√2)

4. Уравнение: lg²x - 2lgx = lg²100 - 1

Сначала упростим правую часть:

• lg²100 = (lg10²)² = 4

Теперь уравнение становится:

• lg²x - 2lgx = 4 - 1
• lg²x - 2lgx - 3 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-2)² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Корни:

• lgx₁ = (2 + 4) / 2 = 3
• lgx₂ = (2 - 4) / 2 = -1

Таким образом:

• x₁ = 10³ = 1000
• x₂ = 10^(-1) = 0.1

Теперь у нас есть все решения для всех уравнений. Если есть вопросы по какому-то из шагов, не стесняйтесь спрашивать!