Пожалуйста, с прописанным ответом + нужно построить соответствующий рисунок для каждого примера! Прикрепите свой ответ на фото.

Найдите площадь фигур, ограниченных следующими кривыми. Постройте соответствующие рисунки по этим данным:

1. y=x²/3, y=4–2/3x²;
2. y=x², y=2x², y=2;
3. y=x², y=x²/2, y=2x;
4. y=1/x, y=x², y=x²/2

Алгебра 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми алгебра 11 класс площадь фигур кривые построение рисунков задачи по алгебре графики функций интегралы математические графики решение задач анализ функций

Для нахождения площади фигур, ограниченных заданными кривыми, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим каждый из примеров по отдельности.

1. Пример: y = x²/3 и y = 4 - 2/3x²

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения:

• x²/3 = 4 - 2/3x²

Шаг 2: Умножим все на 3, чтобы избавиться от дробей:

• x² = 12 - 2x²

Шаг 3: Переносим все в одну сторону:

• 3x² + 12 = 0

Шаг 4: Решаем уравнение:

• x² = 4
• x = ±2

Шаг 5: Найдем площадь между кривыми:

• Площадь = ∫ от -2 до 2 (4 - 2/3x² - x²/3) dx

Шаг 6: Упрощаем интеграл и вычисляем его.

Рисунок:

На рисунке вы можете изобразить графики обеих функций. Первая кривая будет параболой, открытой вверх, а вторая - также параболой, но с вершиной, расположенной выше.

2. Пример: y = x², y = 2x², y = 2

Шаг 1: Найдем точки пересечения:

• y = x² и y = 2x²: x² = 2x² → x² = 0 → x = 0
• y = 2x² и y = 2: 2x² = 2 → x² = 1 → x = ±1

Шаг 2: Площадь между кривыми:

• Площадь = ∫ от -1 до 1 (2 - 2x²) dx

Шаг 3: Вычисляем интеграл.

Рисунок:

На рисунке будут три функции: парабола y = x², более "широкая" парабола y = 2x² и горизонтальная линия y = 2.

3. Пример: y = x², y = x²/2, y = 2x

Шаг 1: Найдем точки пересечения:

• y = x² и y = 2x: x² = 2x → x(x - 2) = 0 → x = 0, 2
• y = x² и y = x²/2: x² = x²/2 → x²/2 = 0 → x = 0

Шаг 2: Площадь между кривыми:

• Площадь = ∫ от 0 до 2 (2x - x²) dx

Шаг 3: Вычисляем интеграл.

Рисунок:

На рисунке изображаем параболу y = x², линию y = 2x и параболу y = x²/2.

4. Пример: y = 1/x, y = x², y = x²/2

Шаг 1: Найдем точки пересечения:

• y = 1/x и y = x²: 1/x = x² → 1 = x³ → x = 1
• y = 1/x и y = x²/2: 1/x = x²/2 → 2 = x³ → x = ∛2

Шаг 2: Площадь между кривыми:

• Площадь = ∫ от 1 до ∛2 (1/x - x²) dx

Шаг 3: Вычисляем интеграл.

Рисунок:

На рисунке будут изображены гипербола y = 1/x и две параболы y = x² и y = x²/2.

В каждом случае важно правильно определить границы интегрирования и вычислить интеграл для нахождения площади. Рисунки помогут визуализировать фигуры, ограниченные кривыми, и понять, как они пересекаются друг с другом.

Привет! Давай разберемся с этими задачами по нахождению площадей фигур, ограниченных кривыми. Я объясню каждый пример и покажу, как можно построить рисунки.

1. y = x²/3 и y = 4 - 2/3x²

• Сначала найдем точки пересечения этих кривых. Для этого приравняем их:
• x²/3 = 4 - 2/3x²
• Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей:
• x² = 12 - 2x²
• 3x² = 12
• x² = 4 => x = ±2
• Теперь подставим x = 2 и x = -2 в одну из функций, чтобы найти y:
• y = (2)²/3 = 4/3 и y = (-2)²/3 = 4/3
• Точки пересечения: (2, 4/3) и (-2, 4/3)
• Теперь найдем площадь между кривыми:
• Площадь = интеграл от -2 до 2 (4 - 2/3x² - x²/3) dx
• Площадь = интеграл от -2 до 2 (4 - x²) dx = 4x - x³/3 | от -2 до 2 = 16/3

2. y = x², y = 2x², y = 2

• Находим точки пересечения:
• y = x² и y = 2 => x² = 2 => x = ±√2
• y = 2x² и y = 2 => 2x² = 2 => x² = 1 => x = ±1
• Точки пересечения: (√2, 2), (-√2, 2), (1, 2), (-1, 2)
• Площадь = интеграл от -√2 до √2 (2 - x²) dx + интеграл от -1 до 1 (2 - 2x²) dx
• Площадь = (2x - x³/3 | от -√2 до √2) + (2x - 2x³/3 | от -1 до 1) = 4/3 + 4/3 = 8/3

3. y = x², y = x²/2, y = 2x

• Находим точки пересечения:
• y = x² и y = 2x => x² = 2x => x(x - 2) = 0 => x = 0 и x = 2
• y = x²/2 и y = 2x => x²/2 = 2x => x² - 4x = 0 => x(x - 4) = 0 => x = 0 и x = 4
• Точки пересечения: (0, 0), (2, 4), (4, 8)
• Площадь = интеграл от 0 до 2 (2x - x²) dx + интеграл от 2 до 4 (x²/2 - x²) dx
• Площадь = (x² - x³/3 | от 0 до 2) + (-x³/6 | от 2 до 4) = 4/3 + 4/3 = 8/3

4. y = 1/x, y = x², y = x²/2

• Находим точки пересечения:
• 1/x = x² => 1 = x³ => x = 1
• 1/x = x²/2 => 2 = x³ => x = 2^(1/3)
• Точки пересечения: (1, 1), (2^(1/3), 2^(2/3))
• Площадь = интеграл от 1 до 2^(1/3) (1/x - x²) dx + интеграл от 2^(1/3) до 2 (x²/2 - x²) dx
• Площадь = (ln|x| - x³/3 | от 1 до 2^(1/3)) + (-x³/6 | от 2^(1/3) до 2) = (ln(2^(1/3)) - 1/3) + (0 - 4/6) = 1/3 - 2/3 = -1/3

Теперь, чтобы построить рисунки, ты можешь использовать графические калькуляторы или онлайн графики, такие как Desmos. Просто введи уравнения и посмотри, как они выглядят. Надеюсь, это поможет! Если что-то непонятно, спрашивай!