СРОЧНО!!! С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ, ПОЖАЛУЙСТА

Как можно вычислить площадь фигур, ограниченных следующими кривыми? Необходимо также построить соответствующие графики:

1. y=x²/3, y=4–2/3x²;
2. y=x², y=2x², y=2;
3. y=x², y=x²/2, y=2x;
4. y=1/x, y=x², y=x²/2;

Алгебра 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигур кривые графики алгебра 11 класс вычисление площади Новый

Для вычисления площади фигур, ограниченных заданными кривыми, мы будем использовать метод интегрирования. Сначала найдем точки пересечения кривых, затем определим, какая из кривых находится выше, и, наконец, вычислим площадь, используя определенный интеграл.

Теперь рассмотрим каждую пару кривых по отдельности.

1. Кривые: y = x²/3 и y = 4 - 2/3x²

1. Найдем точки пересечения:
• Приравняем уравнения: x²/3 = 4 - 2/3x².
• Умножим на 3 для избавления от дробей: x² = 12 - 2x².
• Переносим все в одну сторону: 3x² + 2x² - 12 = 0.
• Получаем: 5x² - 12 = 0, откуда x² = 12/5, x = ±√(12/5).
2. Теперь найдем соответствующие y-значения:
• Подставим x в одно из уравнений, например, y = x²/3: y = (12/5)/3 = 4/5.
3. Точки пересечения: (√(12/5), 4/5) и (-√(12/5), 4/5).

Теперь находим площадь:

1. Площадь = интеграл от -√(12/5) до √(12/5) (верхняя кривая - нижняя кривая):
• Площадь = ∫[(-√(12/5)) до (√(12/5))] ((4 - 2/3x²) - (x²/3)) dx.
2. Упростим интеграл и вычислим его:
• Площадь = ∫[(-√(12/5)) до (√(12/5))] (4 - x²) dx.

2. Кривые: y = x², y = 2x², y = 2

1. Найдем точки пересечения:
• Приравниваем y = x² и y = 2: x² = 2, x = ±√2.
• Приравниваем y = 2x² и y = 2: 2x² = 2, x = ±1.
2. Точки пересечения: (-√2, 2), (√2, 2), (-1, 2), (1, 2).

Теперь находим площадь:

1. Площадь = интеграл от -√2 до -1 и от 1 до √2:
• Площадь = ∫[(-√2) до (-1)] (2 - 2x²) dx + ∫[(1) до (√2)] (2 - 2x²) dx.

3. Кривые: y = x², y = x²/2, y = 2x

1. Найдем точки пересечения:
• Приравниваем y = x² и y = 2x: x² = 2x, x(x - 2) = 0, x = 0, 2.
• Приравниваем y = x² и y = x²/2: x² = x²/2, x = 0.
2. Точки пересечения: (0, 0), (2, 4).

Теперь находим площадь:

1. Площадь = интеграл от 0 до 2:
• Площадь = ∫[0 до 2] (2x - x²) dx.

4. Кривые: y = 1/x, y = x², y = x²/2

1. Найдем точки пересечения:
• Приравниваем y = 1/x и y = x²: 1/x = x², x³ = 1, x = 1.
• Приравниваем y = 1/x и y = x²/2: 1/x = x²/2, x³ = 2, x = √2.
2. Точки пересечения: (1, 1), (√2, 1/√2).

Теперь находим площадь:

1. Площадь = интеграл от 1 до √2:
• Площадь = ∫[1 до √2] (1/x - x²) dx.

В результате, для каждой пары кривых мы нашли точки пересечения и записали интегралы для вычисления площадей. Для окончательного результата нужно вычислить указанные интегралы. Если вам нужна помощь с интегрированием, дайте знать!