СРОЧНО!!! С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ, ПОЖАЛУЙСТА

Как найти площадь фигур, ограниченных следующими кривыми? Постройте соответствующие рисунки по этим данным:

1. y=1/x, y=0, x=4;
2. y=x²–2x, y=–4–x²;
3. y=1/x, y=0, x=a(a>1)

Алгебра 11 класс Площадь фигур, ограниченных кривыми площадь фигур ограниченные кривыми алгебра 11 класс решение задач графики функций интегралы нахождение площади математический анализ Новый

Давайте разберем каждую из заданных фигур и найдем их площади. Начнем с первой фигуры.

1. Фигура, ограниченная кривыми: y=1/x, y=0, x=4

Для нахождения площади, ограниченной этими кривыми, нам нужно:

1. Построить график функции y=1/x. Это гипербола, которая имеет асимптоты по осям координат.
2. Определить область, ограниченную этой кривой, осью x (y=0) и вертикальной линией x=4.
3. Площадь можно найти, вычислив определенный интеграл от 1/x от 1 до 4.

Формула для площади S будет следующей:

S = ∫(1/x) dx от 1 до 4.

Решим интеграл:

S = [ln|x|] от 1 до 4 = ln(4) - ln(1) = ln(4).

Таким образом, площадь фигуры составляет ln(4).

2. Фигура, ограниченная кривыми: y=x²–2x и y=–4–x²

Теперь найдем площадь между этими двумя кривыми:

1. Найдем точки пересечения кривых, приравняв их:
• x² - 2x = -4 - x²
• 2x² - 2x + 4 = 0
• x² - x + 2 = 0.
2. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• D = (-1)² - 4*1*2 = 1 - 8 = -7.
3. Так как D < 0, то у этих кривых нет действительных точек пересечения, и они не ограничивают фигуру в области, где они могут пересекаться.

Таким образом, площадь между этими кривыми не существует, так как они не пересекаются в действительных числах.

3. Фигура, ограниченная кривыми: y=1/x, y=0, x=a (где a>1)

Здесь мы также можем использовать интеграл для нахождения площади:

1. Площадь S будет равна интегралу от 1/x от 1 до a:

S = ∫(1/x) dx от 1 до a.

Решим интеграл:

S = [ln|x|] от 1 до a = ln(a) - ln(1) = ln(a).

Таким образом, площадь фигуры составляет ln(a).

Резюме:

• Площадь фигуры 1: ln(4).
• Площадь фигуры 2: не существует.
• Площадь фигуры 3: ln(a), где a>1.