Для того чтобы система уравнений не имела ни одного решения, необходимо, чтобы два уравнения были параллельны. Это происходит, когда коэффициенты при x и y в обоих уравнениях пропорциональны, но свободные члены не пропорциональны.

Рассмотрим систему уравнений:

• (k² - k - 1)x + 2,5y - 5 = 0
• 2x + y + k = 0

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

• 2x + y = -k

Теперь выделим коэффициенты:

• Первое уравнение: a1 = (k² - k - 1), b1 = 2,5, c1 = -5
• Второе уравнение: a2 = 2, b2 = 1, c2 = -k

Для того чтобы уравнения были параллельны, должно выполняться условие:

(k² - k - 1) / 2 = 2,5 / 1

Решим это уравнение:

• Сначала найдем правую часть: 2,5 / 1 = 2,5
• Теперь у нас есть уравнение: (k² - k - 1) / 2 = 2,5
• Умножим обе стороны на 2: k² - k - 1 = 5
• Переносим все в одну сторону: k² - k - 6 = 0

Теперь решим квадратное уравнение k² - k - 6 = 0. Для этого мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

• k = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Где a = 1, b = -1, c = -6. Подставляем значения:

• D = (-1)² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25
• Теперь находим корни: k = [1 ± √25] / 2 = [1 ± 5] / 2

Таким образом, получаем два значения:

• k1 = (1 + 5) / 2 = 3
• k2 = (1 - 5) / 2 = -2

Теперь нам нужно проверить, что свободные члены не пропорциональны. Подставим найденные значения k в свободные члены:

• Для k = 3: c1 = -5, c2 = -3, (-5) / (-3) ≠ 5 / 2, значит, система не имеет решений.
• Для k = -2: c1 = -5, c2 = 2, (-5) / 2 ≠ 5 / 2, значит, система также не имеет решений.

Таким образом, система не имеет ни одного решения при значениях k = 3 и k = -2.