При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения x^2+(a+1)x-2a(a-1) будут меньше единицы?

Алгебра 11 класс Квадратные уравнения корни квадратного уравнения значения параметра a квадратное уравнение алгебра 11 класс условия для корней неравенство корней анализ корней уравнения Новый

Ответ: -1/2 < a < 2.

Объяснение:

Для того чтобы корни квадратного уравнения x^2 + (a + 1)x - 2a(a - 1) были меньше единицы, нам нужно рассмотреть несколько условий.

1. Вычислим дискриминант:

Дискриминант D квадратного уравнения имеет вид D = b^2 - 4ac. В нашем случае:

• a = 1 (коэффициент при x^2),
• b = (a + 1) (коэффициент при x),
• c = -2a(a - 1) (свободный член).

Подставим значения в формулу:

D = (a + 1)^2 - 4 * 1 * (-2a(a - 1)).

Упрощая, получаем:

D = (a + 1)^2 + 8a^2 - 8a.

Раскроем скобки:

D = a^2 + 2a + 1 + 8a^2 - 8a = 9a^2 - 6a + 1.

2. Условие для корней:

Чтобы корни были действительными, необходимо, чтобы D было больше или равно нулю:

9a^2 - 6a + 1 >= 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого вычислим дискриминант D1:

D1 = (-6)^2 - 4 * 9 * 1 = 36 - 36 = 0.

Корень будет равен:

a = -(-6) / (2 * 9) = 6 / 18 = 1/3.

Таким образом, уравнение 9a^2 - 6a + 1 = 0 имеет один корень a = 1/3.

3. Условия для корней меньше единицы:

Теперь нам нужно, чтобы оба корня уравнения были меньше единицы. Для этого подставим x = 1 в уравнение:

1^2 + (a + 1) * 1 - 2a(a - 1) < 0.

Упрощаем:

1 + a + 1 - 2a^2 + 2a < 0.

Таким образом, получаем:

-2a^2 + 3a + 2 < 0.

Решим это уравнение. Найдем его дискриминант:

D2 = 3^2 - 4 * (-2) * 2 = 9 + 16 = 25.

Корни уравнения:

• a1 = (3 + 5) / (2 * -2) = 8 / -4 = -2,
• a2 = (3 - 5) / (2 * -2) = -2 / -4 = 1/2.

Таким образом, у нас есть два корня: a1 = -2 и a2 = 1/2. Мы можем записать промежуток, где выражение меньше нуля:

-2 < a < 1/2.

В итоге, учитывая, что мы нашли значение a = 1/3, которое также входит в наш промежуток, мы можем заключить, что корни квадратного уравнения будут меньше единицы при значениях параметра a в интервале:

-1/2 < a < 2.

Таким образом, при значениях a от -1/2 до 2 корни уравнения будут меньше единицы.