Для того чтобы определить, при каких значениях переменных X и Y выражение x² + y² + 12y - 6x + 45 = 0 имеет решения, мы можем сначала преобразовать это уравнение в более удобную форму.

Шаг 1: Сгруппируем члены уравнения по переменным X и Y.

• x² - 6x
• y² + 12y
• Константа: +45

Шаг 2: Применим метод completing the square (дополним квадрат) для обеих групп.

Для x² - 6x:

• Мы можем написать это как (x - 3)² - 9, так как (-3)² = 9.

Для y² + 12y:

• Мы можем написать это как (y + 6)² - 36, так как (6)² = 36.

Шаг 3: Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

(x - 3)² - 9 + (y + 6)² - 36 + 45 = 0

Шаг 4: Упростим уравнение:

(x - 3)² + (y + 6)² - 9 - 36 + 45 = 0

(x - 3)² + (y + 6)² + 0 = 0

Шаг 5: Теперь мы видим, что у нас есть сумма квадратов:

(x - 3)² + (y + 6)² = 0

Сумма квадратов равна нулю только в том случае, если каждый из квадратов равен нулю. Это означает:

• (x - 3)² = 0, что дает x = 3
• (y + 6)² = 0, что дает y = -6

Таким образом, единственное решение для уравнения x² + y² + 12y - 6x + 45 = 0:

X = 3, Y = -6