Чтобы решить данные равенства, мы будем использовать свойства степеней. Давайте рассмотрим каждое равенство по очереди и найдем значение n.

1. (3^n)^4 = 3^{20}

   Сначала упростим левую часть:

   (3^n)^4 = 3^{4n}

   Теперь у нас есть равенство: 3^{4n} = 3^{20}. Поскольку основания равны, приравниваем показатели:

   4n = 20

   Разделим обе стороны на 4:

   n = 5

2. (5^n)^3 = 5^{18}

   Упростим левую часть:

   (5^n)^3 = 5^{3n}

   Теперь у нас есть равенство: 5^{3n} = 5^{18}. Приравниваем показатели:

   3n = 18

   Разделим обе стороны на 3:

   n = 6

3. 4^{6n} = 2^{60}

   Перепишем 4 как 2^2:

   (2^2)^{6n} = 2^{60}

   Упростим левую часть:

   2^{12n} = 2^{60}

   Приравниваем показатели:

   12n = 60

   Разделим обе стороны на 12:

   n = 5

4. 36^n = 216^6

   Перепишем 36 и 216 в виде степеней 6 и 6:

   (6^2)^n = (6^3)^6

   Упростим обе стороны:

   6^{2n} = 6^{18}

   Приравниваем показатели:

   2n = 18

   Разделим обе стороны на 2:

   n = 9

5. 49^n = 343^{20}

   Перепишем 49 и 343 в виде степеней 7:

   (7^2)^n = (7^3)^{20}

   Упростим обе стороны:

   7^{2n} = 7^{60}

   Приравниваем показатели:

   2n = 60

   Разделим обе стороны на 2:

   n = 30

6. 2^5 · (2^n)^3 = 2^n

   Упростим левую часть:

   2^5 · 2^{3n} = 2^{n}

   Сложим показатели на левой стороне:

   2^{5 + 3n} = 2^n

   Приравниваем показатели:

   5 + 3n = n

   Переносим n на одну сторону:

   5 + 2n = 0

   2n = -5

   Разделим обе стороны на 2:

   n = -2.5

7. 4^3 · 8^4 · 16^5 = 2^n

   Перепишем все в виде степеней двойки:

   (2^2)^3 · (2^3)^4 · (2^4)^5 = 2^n

   Упростим:

   2^6 · 2^{12} · 2^{20} = 2^n

   Сложим показатели:

   2^{6 + 12 + 20} = 2^n

   2^{38} = 2^n

   Приравниваем показатели:

   n = 38

8. a^4 b^6 c^2 = (abc)^n

   Упростим правую часть:

   (abc)^n = a^n b^n c^n

   Теперь у нас есть равенство:

   a^4 b^6 c^2 = a^n b^n c^n

   Приравниваем показатели для каждого основания:

   • 4 = n
   • 6 = n
   • 2 = n

   Здесь n не может быть одновременно равным 4, 6 и 2, поэтому это равенство не имеет решения.

9. a^{15} b^{18} c^{21} = (a^5 b^6 c^7)^n

   Упростим правую часть:

   (a^5 b^6 c^7)^n = a^{5n} b^{6n} c^{7n}

   Теперь у нас есть равенство:

   a^{15} b^{18} c^{21} = a^{5n} b^{6n} c^{7n}

   Приравниваем показатели для каждого основания:

   • 15 = 5n
   • 18 = 6n
   • 21 = 7n

   Решим каждое уравнение:

   • n = 3
   • n = 3
   • n = 3

   Таким образом, n = 3.

В итоге у нас есть следующие значения n для каждого равенства:

• (3^n)^4 = 3^{20}: n = 5
• (5^n)^3 = 5^{18}: n = 6
• 4^{6n} = 2^{60}: n = 5
• 36^n = 216^6: n = 9
• 49^n = 343^{20}: n = 30
• 2^5 · (2^n)^3 = 2^n: n = -2.5
• 4^3 · 8^4 · 16^5 = 2^n: n = 38
• a^4 b^6 c^2 = (abc)^n: нет решения
• a^{15} b^{18} c^{21} = (a^5 b^6 c^7)^n: n = 3