Чтобы найти производные функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Для функции f(x) = x^2 используем правило, что производная x^n равна n*x^(n-1).

• n = 2, следовательно, f'(x) = 2*x^(2-1) = 2x.

Это константа. Производная константы равна 0.

• f'(x) = 0.

Здесь мы применим правило линейности производной, которое гласит, что производная суммы равна сумме производных.

• f'(x) = (x^3)' - (7x)' + (5)' = 3x^2 - 7 + 0 = 3x^2 - 7.

Применяем то же правило, что и в первом примере.

• f'(x) = 4*x^(4-1) = 4x^3.

Эту функцию можно переписать как f(x) = x^(-1). Применяем правило производной.

• f'(x) = -1*x^(-1-1) = -1/x^2.

Корень можно переписать как f(x) = x^(1/2). Используем правило производной.

• f'(x) = (1/2)*x^(1/2 - 1) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x).

Кубический корень можно переписать как f(x) = x^(1/3). Применяем правило производной.

• f'(x) = (1/3)*x^(1/3 - 1) = (1/3)x^(-2/3) = 1/(3∛(x^2)).

Итак, производные функций:

• f'(x) = 2x для f(x) = x^2
• f'(x) = 0 для f(x) = 5
• f'(x) = 3x^2 - 7 для f(x) = x^3 - 7x + 5
• f'(x) = 4x^3 для f(x) = x^4
• f'(x) = -1/x^2 для f(x) = 1/x
• f'(x) = 1/(2√x) для f(x) = √x
• f'(x) = 1/(3∛(x^2)) для f(x) = ∛x