Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)| < 1 для всех действительных x, таких что |x| ≤ 1. Верно ли, что |p(2)| < 4^n?

Алгебра 11 класс Многочлены и их свойства многочлен степени n p(x) |p(x)| < 1 |x| ≤ 1 |p(2)| < 4^n алгебра неравенства свойства многочленов Новый

Давайте рассмотрим многочлен p(x) степени n, который удовлетворяет условию |p(x)| < 1 для всех x, таких что |x| ≤ 1. Нам нужно выяснить, верно ли, что |p(2)| < 4^n.

Для начала, вспомним о том, что многочлен степени n можно представить в виде:

• p(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + ... + an*x^n,

где a0, a1, ..., an - коэффициенты многочлена.

Теперь, чтобы оценить значение |p(2)|, мы можем воспользоваться неравенством, известным как неравенство Бернштейна. Оно гласит, что если |p(x)| < M на отрезке [a, b], то:

• |p(t)| ≤ M * ((t - a) / (b - a))^n + M * ((b - t) / (b - a))^n для всех t в [a, b].

В нашем случае, мы можем взять a = -1 и b = 1. Следовательно, |p(x)| < 1 на отрезке [-1, 1]. Теперь мы можем оценить |p(2)|:

1. Рассмотрим значение p(2):
2. По неравенству Бернштейна, можно показать, что |p(2)| ≤ 2^n * max_{|x| ≤ 1}|p(x)|.
3. Так как |p(x)| < 1 для всех |x| ≤ 1, то max_{|x| ≤ 1}|p(x)| < 1.
4. Следовательно, |p(2)| < 2^n * 1 = 2^n.

Однако, нам нужно показать, что |p(2)| < 4^n. Заметим, что 4^n = (2^2)^n = (2^n)^2. Таким образом:

1. Поскольку |p(2)| < 2^n, то |p(2)| < 4^n также верно, так как 2^n < 4^n.

Таким образом, мы можем заключить, что утверждение верно: |p(2)| < 4^n.