Решите следующие уравнения:

1. (1/4 * 8^x)^(3x+2) = 1/(32^x)
2. 9^x + 3^(2x+1) = 4^(x+1)

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией алгебра 11 класс уравнения решение уравнений экспоненциальные уравнения задачи по алгебре Новый

Давайте решим каждое из данных уравнений по очереди.

Уравнение 1: (1/4 * 8^x)^(3x+2) = 1/(32^x)

Сначала упростим левую часть уравнения. Мы знаем, что:

• 1/4 = 4^(-1) = 2^(-2)
• 8 = 2^3
• 32 = 2^5

Таким образом, можем переписать 8^x как (2^3)^x = 2^(3x). Теперь подставим это в уравнение:

(2^(-2) * 2^(3x))^(3x+2) = 1/(2^(5x))

Сложим показатели в левой части:

(2^(3x - 2))^(3x+2) = 2^(-5x)

Теперь применим правило степени:

2^((3x - 2)(3x + 2)) = 2^(-5x)

Приравняем показатели:

(3x - 2)(3x + 2) = -5x

Раскроем скобки:

9x^2 - 4 = -5x

Переносим все в одну сторону:

9x^2 + 5x - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 9 * (-4) = 25 + 144 = 169

Корни уравнения:

x1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-5 ± 13) / 18

Теперь найдем корни:

• x1 = (8) / 18 = 4/9
• x2 = (-18) / 18 = -1

Итак, корни первого уравнения: x = 4/9 и x = -1.

Уравнение 2: 9^x + 3^(2x+1) = 4^(x+1)

Сначала упростим каждую из частей уравнения:

• 9^x = (3^2)^x = 3^(2x)
• 4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^(2x + 2)

Теперь подставим это в уравнение:

3^(2x) + 3^(2x + 1) = 2^(2x + 2)

Приведем вторую часть к более простому виду:

3^(2x) + 3 * 3^(2x) = 2^(2x + 2)

Объединим подобные члены:

4 * 3^(2x) = 2^(2x + 2)

Теперь выразим 2^(2x + 2) как 4 * 2^(2x):

4 * 3^(2x) = 4 * 2^(2x)

Разделим обе стороны на 4:

3^(2x) = 2^(2x)

Теперь применим логарифмы:

log(3^(2x)) = log(2^(2x))

Используя свойства логарифмов, получаем:

2x * log(3) = 2x * log(2)

Если 2x не равно 0, можем разделить обе стороны на 2x:

log(3) = log(2)

Это невозможно, так как логарифмы различных чисел не равны. Следовательно, 2x = 0, что дает:

x = 0.

Таким образом, решение второго уравнения: x = 0.

Ответы:

• Первое уравнение: x = 4/9 и x = -1.
• Второе уравнение: x = 0.