Решите следующие уравнения:

1. 25 в степени (1-3х) = 1/25
2. 3 в степени (х/2) * 3 в степени (х-2) = 1
3. 16 в степени х + 4 в степени х - 2 = 0
4. 5 в степени (х+1) - 5 в степени (х-2) = 620

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией уравнения алгебра 11 класс решение уравнений степени экспоненциальные уравнения Новый

Давайте решим каждое из данных уравнений по очереди.

1. Уравнение: 25 в степени (1-3х) = 1/25

Первым делом заметим, что 1/25 можно выразить как 25 в степени -2:

• 1/25 = 25^(-2)

Теперь у нас есть:

25^(1-3х) = 25^(-2)

Так как основания равны, мы можем приравнять показатели:

1 - 3х = -2

Теперь решим это уравнение:

• Добавим 3х к обеим сторонам: 1 = -2 + 3х
• Добавим 2 к обеим сторонам: 3 = 3х
• Разделим обе стороны на 3: х = 1

Ответ: х = 1.

2. Уравнение: 3 в степени (х/2) * 3 в степени (х-2) = 1

Используем свойство степеней: a^m * a^n = a^(m+n). В нашем случае:

• 3^(х/2) * 3^(х-2) = 3^((х/2) + (х-2))

Теперь у нас есть:

3^((х/2) + (х-2)) = 1

Поскольку 3^0 = 1, мы можем приравнять показатель к нулю:

(х/2) + (х-2) = 0

Упростим это уравнение:

• х/2 + х - 2 = 0
• Умножим все на 2, чтобы избавиться от дроби: х + 2х - 4 = 0
• 3х - 4 = 0
• 3х = 4
• х = 4/3

Ответ: х = 4/3.

3. Уравнение: 16 в степени х + 4 в степени х - 2 = 0

Заметим, что 16 можно выразить как 4 в квадрате:

• 16^х = (4^2)^х = 4^(2х)

Теперь у нас есть:

4^(2х) + 4^х - 2 = 0

Обозначим 4^х как y. Тогда уравнение примет вид:

y^2 + y - 2 = 0

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью формулы:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -2:

• Дискриминант: D = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9
• y = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2

Находим корни:

• y1 = (2)/2 = 1
• y2 = (-4)/2 = -2 (не подходит, так как y = 4^х не может быть отрицательным)

Теперь возвращаемся к y = 4^х:

4^х = 1, значит х = 0.

Ответ: х = 0.

4. Уравнение: 5 в степени (х+1) - 5 в степени (х-2) = 620

Перепишем уравнение:

5^(х+1) - 5^(х-2) = 620

Выразим 5^(х-2) через 5^(х+1):

• 5^(х-2) = 5^(х+1) / 5^3 = 5^(х+1) / 125

Теперь подставим это в уравнение:

5^(х+1) - 5^(х+1)/125 = 620

Вынесем 5^(х+1) за скобки:

5^(х+1) * (1 - 1/125) = 620

Упростим выражение в скобках:

1 - 1/125 = 124/125

Теперь у нас есть:

5^(х+1) * (124/125) = 620

Умножим обе стороны на 125/124:

5^(х+1) = 620 * (125/124)

Теперь вычислим 620 * (125/124):

• 620 * 125 = 77500
• 77500 / 124 = 625

Теперь у нас есть:

5^(х+1) = 625

Так как 625 = 5^4, мы можем приравнять показатели:

х + 1 = 4

Решим это уравнение:

• х = 4 - 1 = 3

Ответ: х = 3.

Итак, мы получили следующие ответы:

• 1. х = 1
• 2. х = 4/3
• 3. х = 0
• 4. х = 3