Решите следующие уравнения:

1. 9^(x^2) / (5 * 5^(3x + 1)) = (27 * 3^(3x - 1)) / (25^(x^2))
2. 8 * 2^(2x - 1) - 28 * 2^(2x - 3) = 0.5

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнений алгебра 11 класс уравнения с показателями алгебраические уравнения математические задачи уравнения с переменными решение алгебраических задач Новый

Давайте решим оба уравнения по очереди. Начнем с первого уравнения:

Уравнение 1:

9^(x^2) / (5 * 5^(3x + 1)) = (27 * 3^(3x - 1)) / (25^(x^2))

Первым делом, давайте упростим обе стороны уравнения, используя свойства степеней и преобразования.

1. Перепишем 9 и 27 через 3:
   • 9 = 3^2, значит 9^(x^2) = (3^2)^(x^2) = 3^(2x^2)
   • 27 = 3^3, значит 27 * 3^(3x - 1) = 3^3 * 3^(3x - 1) = 3^(3 + 3x - 1) = 3^(3x + 2)
2. Также перепишем 25 и 5:
   • 25 = 5^2, значит 25^(x^2) = (5^2)^(x^2) = 5^(2x^2)

Теперь перепишем уравнение:

3^(2x^2) / (5 * 5^(3x + 1)) = 3^(3x + 2) / (5^(2x^2))

Упростим левую часть:

3^(2x^2) / (5^(3x + 1 + 1)) = 3^(2x^2) / (5^(3x + 2))

Теперь у нас есть:

3^(2x^2) / (5^(3x + 2)) = 3^(3x + 2) / (5^(2x^2))

Теперь умножим обе стороны на 5^(3x + 2) * 5^(2x^2):

3^(2x^2) * 5^(2x^2) = 3^(3x + 2) * 5^(3x + 2)

Теперь сравним степени 3 и 5:

1. Для 3: 2x^2 = 3x + 2
2. Для 5: 2x^2 = 3x + 2

Получаем одно уравнение:

2x^2 - 3x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

Корни уравнения:

x = (3 ± √25) / (2 * 2) = (3 ± 5) / 4

Таким образом, x1 = 2 и x2 = -0.5.

Уравнение 2:

8 * 2^(2x - 1) - 28 * 2^(2x - 3) = 0.5

Упростим это уравнение:

8 * 2^(2x - 1) = 28 * 2^(2x - 3) + 0.5

Перепишем 0.5 как 1/2:

8 * 2^(2x - 1) = 28 * 2^(2x - 3) + 1/2

Теперь выразим 2^(2x - 1) и 2^(2x - 3):

8 * 2^(2x - 1) = 8 * (2^(2x) / 2) = 4 * 2^(2x)

28 * 2^(2x - 3) = 28 * (2^(2x) / 8) = 3.5 * 2^(2x)

Теперь подставим в уравнение:

4 * 2^(2x) = 3.5 * 2^(2x) + 1/2

Переносим все на одну сторону:

4 * 2^(2x) - 3.5 * 2^(2x) - 1/2 = 0

Упрощаем:

0.5 * 2^(2x) - 1/2 = 0

Теперь приравняем к нулю:

0.5 * 2^(2x) = 1/2

Умножим обе стороны на 2:

2^(2x) = 1

Решение:

2x = 0, значит x = 0.

Ответы:

• Для первого уравнения: x = 2 и x = -0.5
• Для второго уравнения: x = 0