Сколько корней у уравнения x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения третьей степени уравнение x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0 количество корней алгебра 11 класс корни уравнения решение уравнений Новый

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0, мы можем воспользоваться теорией о корнях полинома и методом анализа функции.

1. Определим степень полинома: У нас есть кубическое уравнение, так как высшая степень переменной x равна 3. Это значит, что у него может быть от 1 до 3 действительных корней.

2. Найдем производную функции: Для анализа поведения функции, мы можем найти ее производную:

• f(x) = x^3 - 2x^2 - 9x + 18
• f'(x) = 3x^2 - 4x - 9

3. Найдем критические точки: Для этого решим уравнение f'(x) = 0:

• 3x^2 - 4x - 9 = 0

Используем дискриминант для решения этого квадратного уравнения:

• D = (-4)^2 - 4 * 3 * (-9) = 16 + 108 = 124

Так как дискриминант положительный, это означает, что у уравнения есть два различных корня, и, следовательно, функция f(x) имеет два критических точки.

4. Исследуем поведение функции: Теперь мы можем проанализировать, как ведет себя функция f(x) на интервалах, определяемых критическими точками. Функция может менять знак и, соответственно, пересекать ось абсцисс в этих точках.

5. Определим количество корней: Поскольку у нас есть кубическая функция с двумя критическими точками, она может пересекать ось абсцисс в трех местах, в одном месте или в двух местах. Чтобы определить точное количество корней, нам нужно исследовать значения функции в критических точках и на концах интервала:

• f(-∞) → +∞
• f(+∞) → -∞

Таким образом, функция будет иметь:

• По одному корню между каждым из критических значений, а также на концах интервала. Это означает, что у уравнения x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0 есть 3 действительных корня.

В итоге, у уравнения x^3 - 2x^2 - 9x + 18 = 0 есть три действительных корня.