Чтобы решить уравнение (sin² x + sin x) / cos x = 0, начнем с того, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, мы можем записать:

1. Найдем корни числителя:

sin² x + sin x = 0

Мы можем вынести sin x за скобки:

sin x (sin x + 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые мы можем приравнять к нулю:

• sin x = 0
• sin x + 1 = 0, что означает sin x = -1

2. Найдем значения x для каждого случая:

Для sin x = 0:

Синус равен нулю на интервале [0; 4π] в точках:

• x = 0
• x = π
• x = 2π
• x = 3π
• x = 4π

Итак, у нас 5 решений от sin x = 0.

Для sin x = -1:

Синус равен -1 на интервале [0; 4π] только в одной точке:

• x = 3π/2

3. Теперь подведем итоги:

Мы нашли 5 решений для sin x = 0 и 1 решение для sin x = -1. Таким образом, общее количество решений:

• 5 (от sin x = 0) + 1 (от sin x = -1) = 6 решений

4. Проверим, что знаменатель cos x не равен нулю в найденных точках:

Знаменатель равен нулю, когда cos x = 0. Это происходит в точках:

• x = π/2
• x = 3π/2

Из этих точек только x = 3π/2 совпадает с одним из решений. Однако, поскольку мы ищем решения уравнения, где знаменатель не равен нулю, мы исключаем это значение.

Таким образом, у нас остается 5 - 1 = 5 решений.

Ответ: 6 решений. Правильный вариант - E) 6.