СРОЧНО! Ребятки!!! Как найти производную функции y, которая равна корню из (x sin x + (cos x)/корень(x))?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции алгебра 11 класс корень из выражения sin x cos x нахождение производной Новый

Давайте найдем производную функции y = √(x sin x + (cos x)/√x). Для этого мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции и правило производной суммы.

Шаги решения:

1. Запишем функцию в удобной форме:

   y = (x sin x + (cos x) / √x)^(1/2)

2. Применим правило производной сложной функции:

   Если y = u^(1/2), то y' = (1/2) * u^(-1/2) * u'

   Где u = x sin x + (cos x) / √x.

3. Найдем производную u:

   Используем правило производной суммы:

   • Первая часть: (x sin x)' = x' * sin x + x * (sin x)' = 1 * sin x + x * cos x = sin x + x cos x.
   • Вторая часть: ((cos x) / √x)' = (cos x)' * (1/√x) + cos x * (1/√x)'.
   • Производная cos x: (cos x)' = -sin x.
   • Производная (1/√x) = -1/(2√x^3).
   • Итак, получаем: ((cos x) / √x)' = -sin x / √x + cos x * (-1/(2√x^3)) = -sin x / √x - cos x / (2x√x).

   Теперь объединим обе части:

   u' = (sin x + x cos x) + (-sin x / √x - cos x / (2x√x)).

4. Подставим u и u' в формулу производной y:

   y' = (1/2) * (x sin x + (cos x) / √x)^(-1/2) * (u').

5. Упростим результат:

   y' = (1/2) * (x sin x + (cos x) / √x)^(-1/2) * [(sin x + x cos x) - (sin x / √x + cos x / (2x√x))].

Таким образом, мы нашли производную функции y. Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!