В какой точке графика функции у=x^3+5x^2+6x+8 касательная образует с осью x угол, равный 135 градусов?

Алгебра 11 класс Графики функций и производные алгебра 11 класс график функции касательная угол с осью x 135 градусов у=x^3+5x^2+6x+8 производная функции точки касания задача по алгебре Новый

Чтобы найти точку на графике функции у = x^3 + 5x^2 + 6x + 8, в которой касательная образует угол 135 градусов с осью x, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Определение угла наклона касательной.

Угол наклона касательной к графику функции связан с производной функции. Угол 135 градусов соответствует углу наклона -1, так как тангенс 135 градусов равен -1.

Шаг 2: Найдем производную функции.

Производная функции у = x^3 + 5x^2 + 6x + 8 будет:

• у' = 3x^2 + 10x + 6.

Шаг 3: Установим уравнение для нахождения точки касательной.

Поскольку мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен -1, мы можем записать уравнение:

• 3x^2 + 10x + 6 = -1.

Шаг 4: Решим уравнение.

Переносим -1 влево:

• 3x^2 + 10x + 6 + 1 = 0
• 3x^2 + 10x + 7 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 * 3 * 7 = 100 - 84 = 16.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

• x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-10 + 4) / 6 = -1.
• x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-10 - 4) / 6 = -7/3.

Шаг 5: Найдем соответствующие значения функции.

Теперь подставим найденные значения x в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y.

• Для x1 = -1:
• y = (-1)^3 + 5*(-1)^2 + 6*(-1) + 8 = -1 + 5 - 6 + 8 = 6.
• Для x2 = -7/3:
• y = (-7/3)^3 + 5*(-7/3)^2 + 6*(-7/3) + 8.
• Считаем: (-7/3)^3 = -343/27, 5*(-7/3)^2 = 5*49/9 = 245/9, 6*(-7/3) = -14.
• Приведем к общему знаменателю: -343/27 + 245/9 - 14 = -343/27 + 245/9 - 378/27 = (-343 + 735 - 378)/27 = 14/27.

Шаг 6: Итог.

Таким образом, точки, в которых касательная к графику функции образует угол 135 градусов с осью x:

• (-1, 6)
• (-7/3, 14/27).