Вопрос по алгебре 11 класса:

Как построить график функции f(x)=x^3-12x-1 с использованием производной? Необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Выявить критические точки.
4. Определить промежутки монотонности и экстремумы.
5. Построить график функции и график её производной.
6. Составить уравнение касательной к графику, проходящей через точку x0=0.

Алгебра 11 класс Графики функций и производные график функции алгебра 11 класс производная функции критические точки промежутки монотонности экстремумы Уравнение касательной Новый

Ответ:

Давайте подробно разберем, как построить график функции f(x) = x^3 - 12x - 1 с использованием производной, следуя указанным шагам:

1. Определить область определения функции.

Функция f(x) = x^3 - 12x - 1 является многочленом третьей степени. Многочлены определены на всей числовой прямой, поэтому область определения функции - все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

2. Найти производную функции.

Производная функции f(x) = x^3 - 12x - 1 находится по правилу дифференцирования многочленов. Производная от x^3 равна 3x^2, а производная от -12x равна -12. Константа -1 исчезает при дифференцировании. Таким образом, производная функции f'(x) = 3x^2 - 12.

3. Выявить критические точки.

Критические точки находятся путем решения уравнения f'(x) = 0. Подставим производную:

3x^2 - 12 = 0.

Решим это уравнение: 3x^2 = 12, x^2 = 4, x = ±2. Таким образом, критические точки - это x = 2 и x = -2.

4. Определить промежутки монотонности и экстремумы.

Для определения промежутков монотонности посмотрим знак производной на промежутках, разделяемых критическими точками: (-∞, -2), (-2, 2), (2, ∞).

• На промежутке (-∞, -2) выберем, например, x = -3. Подставив в производную, получим f'(-3) = 27 - 12 = 15, что больше нуля. Значит, на этом промежутке функция возрастает.
• На промежутке (-2, 2) выберем, например, x = 0. Подставив в производную, получим f'(0) = -12, что меньше нуля. Значит, на этом промежутке функция убывает.
• На промежутке (2, ∞) выберем, например, x = 3. Подставив в производную, получим f'(3) = 27 - 12 = 15, что больше нуля. Значит, на этом промежутке функция возрастает.

Таким образом, в точке x = -2 функция имеет локальный максимум, а в точке x = 2 - локальный минимум.

5. Построить график функции и график её производной.

Построим график функции, используя найденные экстремумы и характер монотонности. График функции будет иметь точки перегиба в критических точках, а также будет возрастать на промежутках (-∞, -2) и (2, ∞), и убывать на промежутке (-2, 2). График производной будет параболой, открытой вверх, с вершиной на оси y.

6. Составить уравнение касательной к графику, проходящей через точку x0 = 0.

Для составления уравнения касательной нам нужно найти значение функции и её производной в точке x0 = 0. Вычислим:

• f(0) = 0^3 - 12*0 - 1 = -1.
• f'(0) = 3*0^2 - 12 = -12.

Уравнение касательной имеет вид y = f'(x0)(x - x0) + f(x0). Подставим найденные значения:

y = -12(x - 0) - 1 = -12x - 1.

Это уравнение касательной к графику функции в точке x = 0.

Таким образом, мы полностью проанализировали функцию и построили её график с помощью производной.