Вопрос по алгебре: Каково значение интеграла от произведения двух функций? (В частности: интеграл от cos(3x) * cos(5x))?

Алгебра 11 класс Интегралы и интегральное исчисление алгебра 11 класс значение интеграла интеграл произведения функций интеграл cos(3x) * cos(5x) вычисление интеграла методы интегрирования Новый

Чтобы найти значение интеграла от произведения двух функций, в данном случае от cos(3x) * cos(5x), мы можем использовать формулы для произведения косинусов. Сначала вспомним, что существует формула преобразования произведения косинусов в сумму:

cos(A) * cos(B) = 1/2 * (cos(A + B) + cos(A - B))

В нашем случае:

• A = 3x
• B = 5x

Теперь подставим значения A и B в формулу:

cos(3x) * cos(5x) = 1/2 * (cos(3x + 5x) + cos(3x - 5x)

Это упрощается до:

cos(3x) * cos(5x) = 1/2 * (cos(8x) + cos(-2x))

Так как косинус является четной функцией, мы можем заменить cos(-2x) на cos(2x):

cos(3x) * cos(5x) = 1/2 * (cos(8x) + cos(2x))

Теперь мы можем интегрировать полученное выражение:

∫cos(3x) * cos(5x) dx = ∫(1/2 * (cos(8x) + cos(2x))) dx

Разделим интеграл на два отдельных интеграла:

∫(1/2 * cos(8x)) dx + ∫(1/2 * cos(2x)) dx

Теперь можем вычислить каждый из них:

1. Для первого интеграла:

   ∫(1/2 * cos(8x)) dx = (1/2) * (1/8) * sin(8x) = (1/16) * sin(8x) + C1

2. Для второго интеграла:

   ∫(1/2 * cos(2x)) dx = (1/2) * (1/2) * sin(2x) = (1/4) * sin(2x) + C2

Теперь объединим результаты:

∫cos(3x) * cos(5x) dx = (1/16) * sin(8x) + (1/4) * sin(2x) + C, где C = C1 + C2.

Таким образом, значение интеграла от произведения функций cos(3x) * cos(5x) равно:

(1/16) * sin(8x) + (1/4) * sin(2x) + C