Чтобы выполнить преобразования выражения (4 + √3) * √(19 - 8√3), начнем с упрощения корня, который находится под знаком корня. Мы видим, что 19 - 8√3 можно представить в виде полного квадрата.

1. Рассмотрим выражение 19 - 8√3. Попробуем представить его в виде (a - b)², где a и b - некоторые числа. Для этого воспользуемся формулой разности квадратов:

• (a - b)² = a² - 2ab + b²

2. Сравнив это с нашим выражением, мы видим, что:

• a² = 19
• 2ab = 8√3

3. Из первого уравнения находим a:

• a = √19

4. Теперь подставим a в второе уравнение и найдем b:

• 2 * √19 * b = 8√3
• b = 8√3 / (2√19) = 4√3 / √19

5. Теперь мы можем проверить, подходит ли это значение b. Если b = 4√3 / √19, то b² будет равно:

• b² = (4√3 / √19)² = 16 * 3 / 19 = 48 / 19

6. Теперь мы можем выразить 19 - 8√3 как полный квадрат:

• 19 - 8√3 = (√19 - 4√3/√19)²

7. Однако, проще заметить, что 19 - 8√3 можно упростить следующим образом:

• 19 - 8√3 = (√3 - 4)²

8. Таким образом, мы можем переписать наше выражение:

• (4 + √3) * √((√3 - 4)²)

9. Теперь, используя свойство корня, получаем:

• √((√3 - 4)²) = |√3 - 4|

10. Поскольку √3 меньше 4, то |√3 - 4| = 4 - √3. Теперь подставим это обратно в выражение:

• (4 + √3) * (4 - √3)

11. Это выражение можно упростить, используя формулу разности квадратов:

• (a + b)(a - b) = a² - b²

12. В нашем случае a = 4 и b = √3, тогда:

• (4)² - (√3)² = 16 - 3 = 13

Таким образом, окончательный ответ: