Чтобы найти производные данных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования, такие как правило суммы, правило произведения, правило частного и производные элементарных функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

• Производная от x равна 1.
• Производная от x^3 равна 3x^2.
• Следовательно, производная y: dy/dx = 1 - 3x^2.

• Производная от √x равна 1/(2√x).
• Производная от (x^2)/2 равна x.
• Следовательно, производная y: dy/dx = 1/(2√x) + x.

• Здесь мы используем правило частного: (u/v)', где u = (x - 1) и v = (x + 1).
• Производная u = 1, производная v = 1.
• По правилу частного: dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2.
• Подставляем: dy/dx = ((x + 1) * 1 - (x - 1) * 1) / (x + 1)^2 = (2) / (x + 1)^2.

• Используем правило цепи: (sin(u))' = cos(u) * u'.
• Производная от 3x равна 3.
• Следовательно, производная y: dy/dx = cos(3x) * 3 = 3cos(3x).

• Здесь используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'.
• u = x, u' = 1; v = tg(x/2), v' = (1/cos^2(x/2)) * (1/2) = (1/2)sec^2(x/2).
• Следовательно, dy/dx = 1 * tg(x/2) + x * (1/2)sec^2(x/2) = tg(x/2) + (x/2)sec^2(x/2).

• Снова используем правило произведения.
• u = (3x + (x^6)/6), u' = 3 + (x^5)/1 = 3 + (x^5).
• v = cos(x), v' = -sin(x).
• Следовательно, dy/dx = (3 + (x^5)) * cos(x) + (3x + (x^6)/6)(-sin(x)).

Таким образом, мы нашли производные всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!