Здравствуйте, помогите решить

Как можно вычислить производную функции

5ln(x-x^3)*cosx?

Алгебра 11 класс Производные функций производная функции вычисление производной алгебра 11 класс 5ln(x-x^3) cosX решение задачи по алгебре Новый

Здравствуйте! Давайте разберем, как вычислить производную функции f(x) = 5ln(x - x^3) * cos(x). Для этого мы будем использовать правило произведения и правило цепочки.

Шаг 1: Определим компоненты функции

В нашей функции есть два множителя:

1. u(x) = 5ln(x - x^3)
2. v(x) = cos(x)

Шаг 2: Применим правило произведения

Правило произведения гласит, что производная произведения двух функций u и v равна: f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

Теперь нам нужно найти производные u'(x) и v'(x).

Шаг 3: Находим производную u(x) = 5ln(x - x^3)

Для нахождения производной u(x) воспользуемся правилом цепочки. Сначала найдем производную внутренней функции x - x^3:

1. y = x - x^3
2. y' = 1 - 3x^2

Теперь применяем правило производной логарифмической функции: u'(x) = 5 (1 / (x - x^3)) (1 - 3x^2)

Таким образом, у нас есть: u'(x) = 5(1 - 3x^2) / (x - x^3)

Шаг 4: Находим производную v(x) = cos(x)

Производная функции cos(x) равна -sin(x): v'(x) = -sin(x)

Шаг 5: Подставляем найденные производные в формулу

Теперь мы можем подставить u'(x) и v'(x) в формулу для производной f'(x):

f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)

Подставляем значения: f'(x) = [5(1 - 3x^2) / (x - x^3)] cos(x) + [5ln(x - x^3)] (-sin(x))

Шаг 6: Упрощаем выражение

Теперь можно немного упростить выражение: f'(x) = [5(1 - 3x^2) cos(x)] / (x - x^3) - 5ln(x - x^3) sin(x)

Итог:

Таким образом, производная функции f(x) = 5ln(x - x^3) cos(x) равна: f'(x) = [5(1 - 3x^2) cos(x)] / (x - x^3) - 5ln(x - x^3) * sin(x)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить, не стесняйтесь спрашивать!