Чтобы определить, какой цифрой заканчивается число 3, возведенное в степень 2010, давайте рассмотрим, как меняется последняя цифра при возведении числа 3 в разные степени.

Для этого мы можем вычислить последние цифры 3 в первых нескольких степенях:

• 3 в 1-й степени: 3¹ = 3 (последняя цифра 3)
• 3 во 2-й степени: 3² = 9 (последняя цифра 9)
• 3 в 3-й степени: 3³ = 27 (последняя цифра 7)
• 3 в 4-й степени: 3⁴ = 81 (последняя цифра 1)
• 3 в 5-й степени: 3⁵ = 243 (последняя цифра 3)

Теперь мы видим, что последние цифры повторяются каждые 4 степени:

• 3¹ - 3
• 3² - 9
• 3³ - 7
• 3⁴ - 1
• 3⁵ - 3

Таким образом, последовательность последних цифр 3, 9, 7, 1 повторяется. Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти последнюю цифру 3²⁰¹⁰.

Для этого нужно определить, на какой позиции в цикле из 4 чисел находится 2010. Мы можем сделать это, найдя остаток от деления 2010 на 4:

2010 mod 4 = 2

Остаток 2 означает, что 3²⁰¹⁰ соответствует 2-й позиции в нашем цикле. Мы знаем, что на 2-й позиции стоит число 9.

Таким образом, последняя цифра числа 3, возведенного в степень 2010, равна 9.