Давайте разберем каждый вопрос по порядку.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

Чтобы узнать, сколько способов можно составить расписание из 5 различных уроков, нужно использовать факториал. Факториал числа n (обозначается n!) - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

1. В нашем случае n = 5.
2. Вычисляем 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Таким образом, существует 120 способов составить расписание из 5 различных уроков.

2. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде из 32 учащихся?

Для нахождения количества способов выбрать 4 человека из 32, мы используем формулу сочетаний:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),где n - общее количество, k - количество выбираемых.

1. В нашем случае n = 32, k = 4.
2. Вычисляем C(32, 4) = 32! / (4! * (32 - 4)!) = 32! / (4! * 28!).
3. Упрощаем: C(32, 4) = (32 × 31 × 30 × 29) / (4 × 3 × 2 × 1) = 35 960.

Итак, существует 35 960 способов сформировать команду из 4 человек.

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

Двузначное число состоит из десятков и единиц.

1. Для десятков можно выбрать любую из 6 цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6).
2. После выбора цифры для десятков остается 5 вариантов для единиц.
3. Итак, общее количество двузначных чисел = 6 (десятки) × 5 (единицы) = 30.

Следовательно, существует 30 различных двузначных чисел.

4. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

Сначала определим общее количество шариков после потери 2 не белых:

1. Изначально 45 шариков, из которых 17 белых.
2. После потери 2 не белых остается 45 - 2 = 43 шарика.

Теперь найдем вероятность:

1. Количество белых шариков = 17.
2. Общее количество шариков = 43.
3. Вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 17 / 43.

Таким образом, вероятность того, что выбранный шарик будет белым, равна 17/43.

5. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка при бросании трех монет?

Сначала найдем общее количество исходов при бросании трех монет:

1. Каждая монета может выпасть либо орлом, либо решкой, что дает 2^3 = 8 различных исходов.

Теперь найдем количество благоприятных исходов:

1. Состояние "два орла и одна решка" может произойти в следующих комбинациях: ООР, ОРО, РОО.
2. Итак, всего 3 благоприятных исхода.

Следовательно, вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 3 / 8.

Таким образом, вероятность того, что выпадут два орла и одна решка, равна 3/8.

6. Какова вероятность выигрыша в лотерее?

В лотерее разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей, всего 2000 выигрышей.

1. Общее количество билетов = 1 000 000.
2. Вероятность выигрыша = общее количество выигрышей / общее количество билетов = 2000 / 1 000 000.

Следовательно, вероятность выигрыша равна 0.002 или 0.2%.

7. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 даёт в остатке 5.

Сначала определим диапазон двузначных чисел: от 10 до 99.

1. Теперь найдем, сколько двузначных чисел при делении на 13 дают в остатке 5.
2. Двузначные числа, которые соответствуют условию: 18, 31, 44, 57, 70, 83, 96.
3. Всего таких чисел = 7.

Теперь найдем общее количество двузначных чисел: 99 - 10 + 1 = 90.

Вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество двузначных чисел = 7 / 90.

Таким образом, вероятность того, что случайное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5, равна 7/90.