Четыре числа находятся в геометрической прогрессии. Если к каждому из них прибавить 1, 7, 9 и 15 соответственно, то получится четыре числа, которые образуют арифметическую прогрессию. Какие числа образуют эту геометрическую прогрессию?

Алгебра 8 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия задачи на прогрессии решение уравнений числа в прогрессии математические задачи Новый

Давайте обозначим четыре числа, которые находятся в геометрической прогрессии, как a, ar, ar² и ar³, где a - первое число, а r - знаменатель прогрессии.

Согласно условию задачи, если мы прибавим к этим числам 1, 7, 9 и 15 соответственно, то получим числа, которые образуют арифметическую прогрессию. То есть:

• Первое число: a + 1
• Второе число: ar + 7
• Третье число: ar² + 9
• Четвертое число: ar³ + 15

Числа образуют арифметическую прогрессию, если разности между последовательными членами одинаковы. То есть:

• (ar + 7) - (a + 1) = (ar² + 9) - (ar + 7)
• (ar² + 9) - (ar + 7) = (ar³ + 15) - (ar² + 9)

Давайте упростим первое уравнение:

1. (ar + 7) - (a + 1) = ar - a + 6
2. (ar² + 9) - (ar + 7) = ar² - ar + 2

Приравняем их:

ar - a + 6 = ar² - ar + 2

Теперь упростим это уравнение:

ar² - 2ar + a - 4 = 0

Теперь рассмотрим второе уравнение:

1. (ar² + 9) - (ar + 7) = ar² - ar + 2
2. (ar³ + 15) - (ar² + 9) = ar³ - ar² + 6

Приравняем их:

ar² - ar + 2 = ar³ - ar² + 6

Упростим это уравнение:

ar³ - 2ar² + ar + 4 = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

• 1) ar² - 2ar + a - 4 = 0
• 2) ar³ - 2ar² + ar + 4 = 0

Решим систему уравнений. Подставим a из первого уравнения во второе:

Из первого уравнения выразим a:

a = 4 - ar² + 2ar

Теперь подставим a во второе уравнение:

ar³ - 2ar² + ar + 4 = 0

Подставляем a:

ar³ - 2ar² + ar + (4 - ar² + 2ar) = 0

Упрощаем:

ar³ - 3ar² + 3ar + 4 = 0

Теперь нужно найти значения a и r, которые удовлетворяют этому уравнению. Мы можем подбирать значения r и находить соответствующее a.

Попробуем r = 2:

a * 2³ - 3a * 2² + 3a * 2 + 4 = 0

8a - 12a + 6a + 4 = 0

2a + 4 = 0

a = -2

Теперь подставим a и r в геометрическую прогрессию:

• Первое число: a = -2
• Второе число: ar = -2 * 2 = -4
• Третье число: ar² = -2 * 2² = -8
• Четвертое число: ar³ = -2 * 2³ = -16

Таким образом, числа, которые образуют геометрическую прогрессию: -2, -4, -8, -16.

Подведем итог: числа, которые образуют геометрическую прогрессию, это -2, -4, -8 и -16.