Каковы три числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если их сумма равна 39, и при этом, если первое число уменьшить на 17, второе оставить без изменения, а третье увеличить на 5, то они будут образовывать арифметическую прогрессию? Пожалуйста, приведите решение.

Алгебра 8 класс Геометрическая и арифметическая прогрессии алгебра 8 класс Геометрическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма чисел решение задачи математические уравнения три числа свойства прогрессий Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим три числа, которые образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первое число как a, второе как ar (где r - это знаменатель прогрессии), а третье как ar².

Согласно условию задачи, сумма этих трех чисел равна 39:

• a + ar + ar² = 39

Также по условию, если первое число уменьшить на 17, второе оставить без изменения, а третье увеличить на 5, то они будут образовывать арифметическую прогрессию. Это можно записать следующим образом:

• a - 17, ar, ar² + 5

Для того чтобы числа образовывали арифметическую прогрессию, должно выполняться следующее условие:

• 2 * ar = (a - 17) + (ar² + 5)

Теперь у нас есть две уравнения:

1. a + ar + ar² = 39
2. 2ar = a - 17 + ar² + 5

Теперь давайте упростим второе уравнение:

• 2ar = a - 12 + ar²
• ar² - 2ar + a - 12 = 0

Теперь у нас есть система уравнений. Мы можем выразить a из первого уравнения:

• a = 39 - ar - ar²

Подставим это значение a во второе уравнение:

• ar² - 2ar + (39 - ar - ar²) - 12 = 0

Упростим это уравнение:

• ar² - 2ar + 39 - ar - ar² - 12 = 0
• -3ar + 27 = 0

Теперь решим это уравнение:

• 3ar = 27
• ar = 9

Теперь, зная, что ar = 9, мы можем выразить r через a:

• r = 9/a

Теперь подставим ar в первое уравнение:

• a + 9 + 9²/a = 39

Упростим это уравнение:

• a + 9 + 81/a = 39
• a + 81/a = 30

Умножим обе стороны на a (предполагая, что a не равно 0):

• a² - 30a + 81 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• D = (-30)² - 4*1*81 = 900 - 324 = 576

Теперь найдем корни уравнения:

• a = (30 ± √576) / 2
• a = (30 ± 24) / 2

Это дает нам два значения:

• a₁ = (54) / 2 = 27
• a₂ = (6) / 2 = 3

Теперь подставим эти значения обратно, чтобы найти r:

• Для a = 27: ar = 9 → r = 9/27 = 1/3
• Для a = 3: ar = 9 → r = 9/3 = 3

Теперь найдем три числа:

• Для a = 27, r = 1/3: числа 27, 9, 3
• Для a = 3, r = 3: числа 3, 9, 27

Итак, три числа, которые образуют геометрическую прогрессию, это 3, 9, 27 или 27, 9, 3. Оба варианта являются правильными.